페르미 에너지

페르미 에너지는 양자역학에서 일반적으로 절대 영온에서 비 상호작용 페르미온의 양자 시스템에서 가장 높은 점용되는 단일 입자 상태와 가장 낮은 점용되는 단일 입자 상태 사이의 에너지 차이를 가리키는 개념이다. 페르미 가스에서 가장 낮은 점유 상태는 운동 에너지가 제로인 반면, 금속에서는 일반적으로 가장 낮은 점유 상태는 전도 대역의 하단을 의미한다.

"페르미 에너지"라는 용어는 종종 다르지만 밀접하게 연관된 개념인 페르미 수준(전기화학 전위라고도 함)^{[note 1]}을 지칭하기 위해 사용된다. 페르미 수준과 페르미 에너지 사이에는 최소한 이 기사에서 사용되는 몇 가지 주요 차이점이 있다.

• 페르미 에너지는 절대 0으로만 정의되는 반면 페르미 수준은 모든 온도에 대해 정의된다.
• 페르미 에너지는 에너지 차이(보통 운동 에너지에 해당)인 반면, 페르미 레벨은 운동에너지와 전위 에너지를 포함한 총 에너지 레벨이다.
• 페르미 에너지는 비 상호 작용 페르미온(전위 에너지 또는 밴드 가장자리가 정적이며 잘 정의된 수량인 경우)에만 정의될 수 있는 반면, 페르미 수준은 열역학적 평형 상태에서 복잡한 상호작용 시스템에서도 잘 정의된다.

절대 영에서 금속의 페르미 레벨은 가장 많이 점유되는 단일 입자 상태의 에너지이므로, 금속의 페르미 에너지는 제로 온도에서 페르미 레벨과 가장 적게 점유되는 단일 입자 상태 사이의 에너지 차이인 것이다.

컨텍스트

양자역학에서 페르미온(예를 들어 전자, 양성자, 중성자)으로 알려진 입자 집단은 파울리 배타 원리를 따른다. 이것은 두 페르미온이 같은 양자 상태를 차지할 수 없다고 말한다. 이상화된 비 상호작용 페르미 가스는 단입자 정지 상태의 관점에서 분석할 수 있기 때문에, 우리는 두 페르미온이 동일한 정지 상태를 점유할 수 없다고 말할 수 있다. 이러한 정지상태는 일반적으로 에너지에서 구별된다. 전체 시스템의 지상 상태를 찾기 위해 빈 계통에서 시작하여 한 번에 하나씩 입자를 더하여 빈 정지 상태를 최저 에너지로 연속적으로 채운다. 모든 입자를 넣었을 때, 페르미 에너지는 가장 많이 점유된 상태의 운동에너지다.

그 결과 페르미 가스에서 가능한 모든 에너지를 절대 영도에 가까운 온도로 냉각시켜 뽑아냈다고 해도 페르미온들은 여전히 빠른 속도로 움직이고 있다. 가장 빠른 것은 페르미 에너지와 동일한 운동 에너지에 해당하는 속도로 움직이고 있다. 이 속도는 페르미 속도라고 알려져 있다. 온도가 관련 페르미 온도를 초과할 때에만 전자는 절대 0보다 현저하게 빠르게 움직이기 시작한다.

페르미 에너지는 금속과 초전도체의 고체 물리학에서 중요한 개념이다. 저온 헬륨(정상과 초유체 모두 히)과 같은 양자액체의 물리학에서도 매우 중요한 분량이며, 핵물리학 및 중력붕괴에 대한 백색왜성의 안정성을 이해하는 것이 상당히 중요하다.

공식 및 일반 값

3차원(비-상대적) 시스템에서 동일한 스핀-다이얼 페르미온의 비인터랙션 앙상블을 위한 페르미 에너지는 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}:{2m_{0}}\왼쪽({\frac {3\pi ^{2}N}{V}\오른쪽)^{2/3}}}$

여기서 N은 각 페르미온의 나머지 질량 m₀, 시스템 볼륨 V 및 축소된 Plank 상수$$ck {\$displaystyle$\hbar $}$이다.

금속

자유 전자 모델 아래에서, 금속의 전자는 페르미 가스를 형성하는 것으로 간주될 수 있다. 금속에서 전도 전자의 숫자$$ 밀도 ${\displaystyle N}$/ V ${\displaystyle N/V}$은 약 10²⁸ - 10²⁹ 전자/m이며³, 일반 고형 물질에서 원자의 전형적인 밀도이기도 하다. 이 숫자의 밀도는 2~10 전자볼트 순서의 페르미 에너지를 생성한다.^[2]

백색왜성

백색 왜성으로 알려진 별들은 우리 태양과 견줄 만한 질량을 가지고 있지만, 반지름의 약 100분의 1을 가지고 있다. 높은 밀도는 전자가 더 이상 단일 핵에 구속되지 않고 그 대신 퇴화된 전자 가스를 형성한다는 것을 의미한다. 그들의 페르미 에너지는 약 0.3 MeV이다.

핵

또 다른 전형적인 예는 원자의 핵에 있는 핵의 그것이다. 핵의 반지름은 편차를 인정하기 때문에 페르미 에너지의 전형적인 값은 보통 38 MeV로 주어진다.

관련수량

위의 정의를 페르미 에너지에 사용하면, 다양한 관련 양이 유용할 수 있다.

페르미 온도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}{k_{\text{B}}},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 k B ${\$$B}}}$은(는) 볼츠만 상수와 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$$F$$}}$페르미 에너지. 페르미 온도는 열 효과가 페르미 통계와 관련된 양자 효과와 비교되는 온도라고 생각할 수 있다.^[3] 금속의 페르미 온도는 실온보다 몇 배 높다.

이 맥락에서 정의된 다른 수량은 페르미 운동량이다.

${\displaystyle p_{\text{F}}={\sqrt{2m_{0}E_{\text{F}}}$

및 페르미 속도

${\displaystyle v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}{m_{0}}}.}$

이러한 양은 페르미 표면에서 페르미온의 운동량과 그룹 속도 각각이다.

페르미 운동량은 또한 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 k F ${\$$F}}}$은$($는) 페르미(Fermi)의 파동 벡터(Fermi wavevector)^[4]라 불리며, 페르미(Fermi) 구의

이러한 수량은 페르미 표면이 비구형인 경우 잘 정의되지 않을 수 있다.

참고 항목

• 페르미-디락 통계: 0이 아닌 온도에서 비 상호작용 페르미온에 대한 정지 상태에 대한 전자의 분포.
• 페르미레벨
• 준 페르미 수준

메모들

참조

추가 읽기

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2.