오류수정모델

오류 수정 모델(ECM)은 데이터에 가장 일반적으로 사용되는 다중 시계열 모델의 범주에 속하며, 데이터에 기초 변수가 장기 공통 확률적 추세를 가지고 있으며, 공동 통합이라고도 한다. ECM은 한 시계열이 다른 시계열에 미치는 단기 효과와 장기 효과를 모두 추정하는 데 유용한 이론적 기반 접근방식이다. 오류 수정이라는 용어는 장기 균형으로부터의 마지막 기간의 편차인 오류가 단기 균형 역학에 영향을 미친다는 사실과 관련이 있다. 따라서 ECM은 종속 변수가 다른 변수의 변화 후 평형 상태로 돌아오는 속도를 직접 추정한다.

역사

욜(1926년)과 그레인저, 뉴볼드(1974년)가 가장 먼저 가짜 상관관계 문제에 관심을 모으고 시계열 분석에서 이를 어떻게 해결할지에 대한 해법을 찾았다.^[1][2] 완전히 관련이 없지만 통합된 (정류적이지 않은) 두 개의 시계열을 고려할 때, 다른 시계열에 대한 회귀 분석은 통계적으로 유의미한 관계를 생성하는 경향이 있으며 따라서 연구자는 이러한 변수들 사이의 실제 관계에 대한 증거를 발견했다고 잘못 믿을 수 있다. 일반적인 최소 제곱은 더 이상 일관성이 없으며 일반적으로 사용되는 시험 통계량은 유효하지 않다. 특히 몬테카를로 시뮬레이션에서는 매우 높은 R 제곱, 매우 높은 개별 t-통계학적, 낮은 더빈–을 얻을 수 있다는 것을 보여준다.왓슨 통계량. 기술적으로 말해서, 필립스(1986)는 모수 추정치가 확률로 수렴되지 않고 절편이 분산되며, 표본 크기가 증가함에 따라 기울기가 퇴화되지 않는 분포를 가질 것이라는 것을 증명했다.^[3] 그러나 두 시리즈 모두 연구자가 진정으로 관심을 갖는 것은 이러한 변수들 간의 오랜 관계를 반영하기 때문에 공통적인 확률적 추세가 있을 수 있다.

추세의 확률적 특성 때문에 통합 시리즈를 결정론적(예측 가능한) 추세와 추세로부터의 편차를 포함하는 고정 시리즈로 분할할 수 없다. 결정적으로 퇴색된 무작위 볼넷에서도 결국 가짜 상관관계가 나타날 것이다. 따라서 디트렌딩은 추정 문제를 해결하지 못한다.

Box-Jenkins 접근법을 계속 사용하기 위해서는 일반적으로 사용되는 많은 시계열(예: 경제학)이 첫 번째 차이에서 정지해 있는 것처럼 보인다는 점을 고려하여 시리즈를 변화시킨 다음 ARIMA와 같은 모델을 추정할 수 있다. 그러한 모형의 예측은 여전히 데이터에 존재하는 사이클과 계절성을 반영할 것이다. 그러나 수준의 데이터가 포함할 수 있는 장기적 조정 정보는 생략되며 장기적 예측은 신뢰할 수 없을 것이다.

이로 인해 Sargan(1964)은 레벨 정보를 유지하는 ECM 방법론을 개발하게 되었다.^[4][5]

추정

위에서 설명한 바와 같이 정제된 동적 모델을 추정하기 위한 몇 가지 방법이 문헌에 알려져 있다. 이들 중에는 한 번에 ECM을 추정하는 Engle 및 Granger 2단계 접근법과 요한센의 방법을 이용한 벡터 기반 VECM이 있다.^[6]

Engle 및 Granger 2단계 접근법

이 방법의 첫 번째 단계는 우선 사용하는 개별 시계열을 미리 테스트하여 그것들이 비스테이션인지 확인하는 것이다. 이는 표준 단위 루트 DF 테스트와 ADF 테스트로 수행할 수 있다(직렬 상관 오류 문제 해결). 서로 다른 두 개의 영상 $시리즈{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle y_{}}$ t$${\$displaystyle y_{t$}의 경우를 가정해 보십시오$.$ 두 영상 시리즈가 모두 I(0)이면 표준 회귀 분석이 유효할 것이다. 만약 그것들이 다른 순서(예: 하나는 I(1)이고 다른 하나는 I(0))로 통합된다면, 하나는 모델을 변형시켜야 한다.

만약 둘 다 동일한 순서(일반적으로 I(1))에 통합되어 있다면, 우리는 폼의 ECM 모델을 추정할 수 있다.

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha(y_{t-1}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t-1}+\nu.}$

두 변수가 모두 통합되고 이 ECM이 존재하는 경우, 그것들은 Engle-Granger 표현 정리에 의해 공동 통합된다.

The second step is then to estimate the model using ordinary least squares: ${\displaystyle y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{t}+\varepsilon _{t}}$ If the regression is not spurious as determined by test criteria described above, Ordinary least squares will not only be valid, but in fact super consist엔트(Stock, 1987). 그런 다음 이 회귀 분석에서 ${\displaystyle {}_{}}$ 잔차${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}{t}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ - ${\displaystyle {\beta }_{}}$1 x t {\$displaystyle {\hat {\barempsilon _{t}=y_{t}-\beta _{0}-\beta_{1$}-\beta_${1$}-{$t}}}$가 저장되고 지연 오차 항이 회귀 분석된다.

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha {\hat {\\barepsilon }}}}{t-1}+\nu _{t}.}$

그런 다음 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 표준 t-statistic을 사용하여 공동 통합을 테스트할 수 있다$.$ 이 접근법은 적용하기 쉽지만 다음과 같은 많은 문제가 있다.

• 첫 번째 단계에서 사용된 일변량 단위 루트 테스트는 낮은 통계적 힘을 가진다.
• 첫 번째 단계에서 종속변수의 선택은 테스트 결과에 영향을 미친다. 즉, Granger 인과관계에 의해 결정된 x$$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 대한 약한 이질성이 필요하다.
• 잠재적으로 작은 표본 치우침이 있을 수 있음
• $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 통합 테스트가 표준 분포를 따르지 않음$$
• 동일 통합 벡터의 OLS 추정기 분포가 매우 복잡하고 비정규적이기 때문에 잔차를 얻는 첫 번째 회귀 단계에서 장기 실행 모수의 유효성을 확인할 수 없다.
• 적어도 하나의 공동 통합 관계를 조사할 수 있다.^{[citation needed]}

VECM

위에서 설명한 Engle-Granger 접근방식은 여러 가지 약점을 안고 있다. 즉, 관심 매개변수에 대해 약하게 이질적인 것으로 가정되는 또 다른 변수에 의해 설명되는 종속변수로 지정된 하나의 방정식에만 제한된다. 또한 변수가 I(0)인지 I(1)인지를 알아내기 위해 시계열을 미리 테스트하는 데 의존한다. 이러한 약점은 요한센의 절차를 이용하여 해결할 수 있다. 사전 테스트가 필요하지 않고, 수많은 공동 통합 관계가 있을 수 있으며, 모든 변수가 내생물로 처리되며, 장기 실행 파라미터와 관련된 테스트가 가능하다는 것이 장점이다. 결과 모델은 벡터 자기 회귀(VAR)로 알려진 다요소 모델에 오류 보정 기능을 추가하기 때문에 벡터 오류 보정 모델(VECM)로 알려져 있다. 절차는 다음과 같이 한다.

• 1단계: 잠재적으로 스테이션이 아닌 변수를 포함하는 제한되지 않은 VAR 추정
• 2단계: Johanssen 테스트를 사용하여 공동 통합 테스트
• 3단계: VECM을 구성하고 분석하십시오.

ECM의 예

공동 통합에 대한 생각은 단순한 거시 경제 환경에서 증명될 수 있다. 소비 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 가처분소득 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 장기적으로$$ 관련된 거시경제 시계열이라고 가정한다(영구소득 가설 참조). 구체적으로는 $평균{\displaystyle {}_{}}$ 소비성향을 90%로 한다. 즉,${\displaystyle {}_{}\mathrm{장기적으로는\; C}}$ t = ${\displaystyle {}_{}}$.9 Y$$ {\$displaystyle$ C_{$t$$}=0$.9.$Y_{t}}$. From the econometrician's point of view, this long run relationship (aka cointegration) exists if errors from the regression ${\displaystyle C_{t}=\beta Y_{t}+\varepsilon _{t}}$ are a stationary series, although ${\displaystyle Y_{t}}$ and ${\displaystyle C_{t}}$ are non-stationary. Suppose also that if ${\displaystyle Y_{t}}$ suddenly changes by ${\displaystyle \Delta Y_{t}}$, then ${\displaystyle C_{t}}$ changes by ${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}}$, that is, marginal propensity to consume equals 50%. 우리의 최종 가정은 전류 소비와 평형 소비 사이의 격차가 각 기간마다 20%씩 감소한다는 것이다.

In this setting a change ${\displaystyle \Delta C_{t}=C_{t}-C_{t-1}}$ in consumption level can be modelled as ${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}-0.2(C_{t-1}-0.9$$Y_{t-1}+\varepsilon _{t$ RHS의 첫 번째 용어는 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ Y t ${\$displaystyle $Y_{t}$의 변화의 단기적 영향을 설명하고$,$ 두 번째 용어는 변수들 간의 평형 관계에 대한 장기적 중력을 설명하며, 세 번째 용어는 시스템이 받는 무작위 충격(예: 소비자 컨피의 충격)을 반영한다.소비에 영향을 미치는 dence. 모델이 어떻게 작동하는지 보려면 영구적 충격과 일시적 충격(임시적)의 두 가지 종류를 고려하십시오. 단순성을 위해 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$을 모든 t에 대해 0이 되도록$$ 한다. 기간 t - ${\displaystyle 1_{}}$에서 시스템이 평형 상태라고 가정합시다. 즉, ${\displaystyle C_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0.9}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$- 1 ${\$$.9$$Y_{t-1$ 기간 t Y ${\displaystyle t_{}}$ ${\$가 10 증가했다가$$ 이전 수준으로 돌아간다고 가정한다. 그 $후{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ t ${\$1차$$(주기 t)는 5 (10의 절반) 증가하지만, 2차 시기 이후에는 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이 감소하기 시작하여$$ 초기 수준으로 수렴한다. 반대로 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 대한 충격이 영구적인 경우$$, ${\displaystyle C_{}}$ t ${\$는 초기 C ${\displaystyle t_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$를 9까지 초과하는 값으로 서서히$$ 수렴한다.

이 구조는 모든 ECM 모델에 공통적이다. 실제로 계량학자는 공분화 관계(수준의 등가)를 먼저 추정했다가 주모형(차이의 등가)에 삽입하는 경우가 많다.

참조

추가 읽기

• Dolado, Juan J.; Gonzalo, Jesús; Marmol, Francesc (2001). "Cointegration". In Baltagi, Badi H. (ed.). A Companion to Theoretical Econometrics. Oxford: Blackwell. pp. 634–654. doi:10.1002/9780470996249.ch31. ISBN 0-631-21254-X.
• Enders, Walter (2010). Applied Econometric Time Series (Third ed.). New York: John Wiley & Sons. pp. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Lütkepohl, Helmut (2006). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin: Springer. pp. 237–352. ISBN 978-3-540-26239-8.
• Martin, Vance; Hurn, Stan; Harris, David (2013). Econometric Modelling with Time Series. New York: Cambridge University Press. pp. 662–711. ISBN 978-0-521-13981-6.