동적 스케일링

동적 스케일링(Family-Vicsek 스케일링이라고도^[1][2] 함)은 진화하는 시스템이 자기 유사성을 보이는지 여부를 보여주는 리트머스 시험이다.일반적으로 기능은 다음과 같은 경우에 동적 스케일링을 나타낸다고 한다.

${\displaystyle f(x,t)\sim t^{}\theta }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}\right).}$

여기서 지수 ${\displaystyle \teta}$은 치수 요건에 의해 고정된다$[$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$[${\displaystyle {}^{}}$ ] $=$[t ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ [f]=[$t^{\teta }}}}].$$f{\displaystyle }$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle t{}^{}}$ ${\$의 숫자 값은 t ${\displaystyle t}$의 측정 단위가 일부 인자에 의해 변경되더라도$$ 불변으로 유지되어야 하며$$ 이는 $dimension{\displaystyle }${\$displaystyle \varphi}}$이(가 차원 없는 수량임)이기 때문이다.

이들 시스템 중 다수는 일정한 시간에 스냅샷에서 얻은 데이터가 더 이른 시간 또는 그 이후의 스냅샷에서 얻은 각각의 데이터와 유사하다는 점에서 자기 유사 방식으로 진화한다.즉, 그 시스템은 서로 다른 시기에 자신과 유사하다.그러한 자기 유사성의 리트머스 테스트는 동적 스케일링에 의해 제공된다.

역사

임계현상의 역학을 기술하기 위한 필수 개념 중 하나인 "동적 스케일링"이라는 용어는 피에르 호헨베르크와 베르트랑 할페린(1977년)의 세미날 논문에서 유래한 것으로 보이는데, 즉, 그들은 퀴리 포인트 근처의 페롬자석의 파동 벡터 및 주파수 의존 민감성을 펑크로 표현할 수 있다고 제안했다.길이와 주파수 눈금뿐만 아니라 자화 및 ${\displaystyle 자기장}$이${\displaystyle }$T - ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ $디스플레이$ 스타일 $T-T_{C$$}}$의 적절한 힘에 의해 재조정된다는 ${\displaystyle 전제하}$에${\displaystyle }$T - ${\displaystyle T_{}}$ C${\displaystyle {}_{}}${\$디스플레이$ 스타일 $T-T_{C$$}}}$와는 무관하게 티온$.$^[3]

이후 타마스 빅세크와 페레이둔 패밀리는 2차원의 클러스터 확산제한집합(DLA)의 맥락에서 동적 확장 아이디어를 제안했다.^[2]동적 확장을 제안하는 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x,t)\sim t^{-w}x^{-\tau }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}\right),}$

지수가 다음 관계를 만족하는 경우:

$w=(2-\tau )z.}$

동적 스케일링 테스트

그러한 시스템에서 우리는 특정 시간 의존적인 $확률{\displaystyle }$ 변수 x ${\displaystyle x}$을 정의할 수 있다$.$ 우리는 $다양$한 시간 요소에서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 확률 분포를 계산하는 데 관심이 있다$.$ f$($${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle$ $f(x,t$$)}$의 숫자 $값$과 전형적인$$ 또는 평균 val.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 ue는 일반적으로$$ 시간에 따라 변화한다.질문은: 해당 무차원 변수에 무슨 일이 일어날까? 입니다.치수 수량의 수치 값이 변경되지만 해당 무차원 수량은 불변으로 유지된다면, 서로 다른 시간에 시스템의 스냅샷이 유사하다고 주장할 수 있다.이런 일이 일어날 때 우리는 그 시스템이 자기 자신과 비슷하다고 말한다.

동적 스케일링을 검증하는 한 가지 방법은 다양한 시간에 추출한 $데이터$의 x${\displaystyle /t^{}}$ z ${\$$displaystyle$f/$t^{\tea }$의 함수로 치수$$ 없는 $변수{\displaystyle }$ f${\displaystyle /t{}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$$displaystyle x/t^{z}$을 표시하는 것이다.그런 다음 서로 다른 시간에 $얻은{\displaystyle }$$$ f ${\displaystyle f}$ 대$$ $x{\displaystyle }${\$displaystyle$x}의 모든 플롯이 하나의 범용 곡선으로 무너지면 서로 다른 시간에 시스템이 유사하고 동적 스케일링을 준수한다고 한다.데이터 붕괴에 대한 생각은 버킹엄 파이 정리에 뿌리 깊게 박혀 있다.^[4]기본적으로 그러한 시스템은 동일한 시스템이 다른 시간에 유사하기 때문에 시간적 자기 유사성이라고 할 수 있다.

예

물리학자들이 조사한 많은 현상들은 정적이 아니라 시간에 따라 확률적으로 진화한다(즉, 확률적 과정).우주 그 자체는 아마도 가장 좋은 예들 중 하나일 것이다.빅뱅 이후 계속 확대되고 있다.마찬가지로, 인터넷과 같은 네트워크의 성장도 끊임없이 증가하는 시스템이다.또 다른 예는 눈 깜짝할 사이에 분해되는 것이 아니라 꽤 오랜 시간 동안 분해되는 폴리머 분해다^[5].생물학적, 컴퓨터 바이러스의 확산 역시 밤에 일어나지 않는다.

동적으로 확장되는 것으로 보이는 다른 많은 이질적인 시스템.예를 들면 다음과 같다.

• Smoluchowski 응고 방정식에 의해 기술된 집합의 운동학,^[6]
• 바라바시가 기술한 복잡한 네트워크앨버트 모델,^[11]
• 운동성 및 확률성 캔터 ^[12]세트
• Kardar-Parisi-Zang (KPZ) 보편성 등급 내의 성장 모델. $표면{\displaystyle }$ W${\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle W(L,t)}$의 폭이 동적 스케일링을 보인다는$$ 것을 알게 된다.^[13][14]
• 가중 평면 확률 격자 블록(WPSL)의 면적 크기 분포도 동적 스케일링을 나타낸다.^{[citation needed]}
• 부분적인 포아송 공정의 한계 확률은 동적 스케일링을 나타낸다.^[15]

참조