더핀-셰퍼 추측

더핀-샤이퍼 추측(Duffin-Schaeffer 추측)은 수학, 특히 1941년 R. J. Duffin과 A. C. Schaeffer가 제안한 디오판틴 근사치(Diopantine 근사치)에 관한 추측(현재 정리)이다.^[1]$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ f$:\mathb {N} \rightarrow \mathb {R}^+}$이(가) 양의 값을 갖는 실제 값 함수라면$$ 거의 모든 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}($$Lebesgue 측정에 대한)에 대해 불평등이라고 명시되어 있다.

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {f(q)}{q}}}}}$

다음과 같은 경우에만 > ${\displaystyle q>0}$의 coprime 정수 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p,q}$에 무한히 많은 솔루션을 가지고 있다.

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\f(q){\frac{\varphi (q)}{q}}}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$)$${\$displaystyle \varphi (q)}$은 오일러의 토털 함수다.

2019년 더핀-샤이퍼 추측이 디미트리스 쿠쿨로풀로스, 제임스 메이너드에 의해 증명되었다.^[2][3]

진행

합리적인 근사치의 존재는 보렐-칸텔리 보조정리로부터 이어지는 시리즈의 차이를 암시한다.^[4]역방향 암시는 추측의 핵심이다.^[5]더핀-샤이퍼 추측의 많은 부분적인 결과가 현재까지 입증되었다.만약 지속적인 c의 존재하는 폴 Erdős 1970년은 추측 드잡이하고;를 설립했다 0{\displaystyle c>0}가 모든 정수 n{n\displaystyle}우리는 양 쪽의 f(n))댁/n{\displaystyle f(n)=c/n}또는 f(n))0{\displaystyle f(n)=0}.[5][6]이것에 제프리 Vaaler에 1978년. 그 사건${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= O${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1$^[7][8] 더 최근에는 가 0 ${\displaystyle \varepsilon >0}$이() 있을 때마다 추측이 사실로 강화되었다

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty }$. This was done by Haynes, Pollington, and Velani.^[9]

2006년에 베레스네비치와 벨라니는 하우스도르프 측정치가 더핀-샤이퍼 추측의 아날로그 측정치가 선험적인 더핀-샤이퍼 추측과 동일하다는 것을 증명했다.이 결과는 수학 연보에 실렸다.^[10]

2019년 7월 디미트리스 쿠쿨로풀로스와 제임스 메이너드가 추측의 증거를 발표했다.^[11][12]2020년 7월, 그 증거가 수학 연보에 실렸다.^[3]

관련 문제

이러한 추측의 고차원적 아날로그는 1990년 본과 폴링턴에 의해 해결되었다.^[5][13][14]

메모들

참조

• Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
• Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

외부 링크

• 콴타 잡지의 더핀-샤이퍼 추측에 관한 기사.
• 증거에 대한 제임스 메이너드와의 번호판 인터뷰.