이중 웨이블렛

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수학에서, 이중 웨이블렛은 웨이블렛에 대한 이중 웨이블렛이다.일반적으로 사각형 통합함수에 의해 생성되는 파장 시리즈는 리에즈 표현 정리라는 의미에서 이중 시리즈를 갖게 된다.그러나 이중 시리즈는 일반적으로 사각형 통합 기능으로 대표할 수 있는 그 자체가 아니다.

정의

제곱합성 함수${\displaystyle }\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle \psi \in$L^{2$}(\mathb {R})}$이(가) 지정되면 {${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}}$을(를) 정의하십시오$.$

${\displaystyle \property_{jk}(x)=2^{j/2}\properties(2^{j}x-k)}$

정수 $j{\displaystyle }$, ${\displaystyle k\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$ $\}.$

Such a function is called an R-function if the linear span of ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ is dense in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, and if there exist positive constants A, B with ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$ such that

${\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}$

모든 바이무한 사각사각형 섬머 시리즈${\displaystyle }${${\displaystyle c_{}}$ $j$k} {\$displaystyle \{c_${jk$\}\backslash \}\}\}\}$여기서${\displaystyle }$‖${\displaystyle {}_{}}$‖ ${\displaystyle {{l\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {2{}^{}}_{}}$ ${\$^{2}}는$$ 제곱합$$규범을 나타낸다.

${\displaystyle \Vert c_{jk}\vert _{l^{2}}^{2}=\sum_{jk=-\inflt }^{jk}\vert ^{2}}$

및 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{L\mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {2{}^{}}_{}}$ ${\$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{}}$)$${\$displaystyle L^{2}(\mathb$ {R} $)\}$에 대한 일반적인$$ 표준:

${\displaystyle \Vert _{L^{2}}^{2}=\int_{-\infit }^{\infit }^{\infit }}\vert f(x)\vert ^{2}dx}$

리에즈 표현 정리에는 다음과 같은$$ 독특한 이중 기반 $\psi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$이 존재한다.

${\displaystyle \langle \cHB\{jk}\vert \\revert \ \lm}\rangele =\revert _{jl}\regle _{km}}}}$

where ${\displaystyle \delta _{jk}}$ is the Kronecker delta and ${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$ is the usual inner product on ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. Indeed, there exists a unique series representation for a square-integrable function f expressed in this basis:

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \langle \blangle \blangle \vert f\rangle \beat _{jk}(x)}$

L$^{2}(\$mathb ${$R})와 같은$$ 함수 $function{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in$ L^{2}(\$mathb$ {R}$)$가 있는 경우

${\displaystyle {\tilde{\}}_{jk}=\jk}}\displaystyle ^{jk}}$

그 다음에$~{\${\$tild {\\property }}}$을(를) 듀얼 웨이블렛 또는 ψ의 듀얼 웨이브렛이라고 한다$$.일반적으로 일부 주어진 R-기능 ψ에 대해서는 이중성이 존재하지 않는다.$\psi {\displaystyle }$ =${\displaystyle \psi \stackrel{}{}}$~ ${\$의 특수한 경우$,$ 웨이브는 직교 파동이라고 한다.

이중 기능이 없는 R 기능의 예는 쉽게 구성할 수 있다.$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 직교 파장으로 한다$$.그런 다음 일부 ${\displaystyle \mathrm{복잡한}}$ 숫자 z에 대해$$ $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ z ${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$) ${\displaystyle \psi (x)=\phi$ ($x)+z\phi(2x)}$을 정의하십시오.이 ψ에는 웨이블렛 듀얼이 없다는 것을 보여주는 것은 간단하다.

참고 항목

• 다중화 분석

참조

• 찰스 K.Chui, Wavelets 소개 (Wavelet Analysis & its Applications), (1992), Academic Press, 샌디에이고, ISBN0-12-174584-8