역의 혼동

역의 혼동(조건부 확률 오류 또는 역 오류라고도 함)은 조건부 확률을 그 역과 동일시하는 논리적 오류다. 즉, 두 사건 A와 B로 볼 때, B가 일어났을 때 A가 발생한 확률은 A가 주어진 확률과 거의 같다고 가정한다.e는 사실 이 가정에 대한 증거가 아니다.^[1][2] 보다 공식적으로 P(A B)는 P(B A)와 거의 같다고 가정한다.

예

예 1

상대적 사이즈를 맞추다	악성	양성	합계
테스트 양성의	0.8 (진정 양성)	9.9 (거짓 긍정)	10.7
테스트 부정의	0.2 (거짓 음성)	89.1 (진정한 음수)	89.3
합계	1	99	100

한 연구에서 의사들에게 1%의 사전 발생 확률을 가진 악성코드의 가능성을 제시하도록 요청받았다. 검사는 악성종양의 80%를 검출할 수 있으며 10%의 거짓 양성률을 가진다. 양성 테스트 결과가 주어지는 악성 코드의 확률은?^[3] 약 100명의 의사 중 95명이 악성종양 발생 확률을 약 75%로 응답한 것은 의사들이 양성 테스트 결과를 얻을 확률이 악성종양 테스트 결과가 나올 확률과 거의 같다고 믿었기 때문인 것으로 보인다.^[4]

위에서 언급한 바와 같이 양성 테스트 결과가 주어진 정확한 악성 코드의 확률은 7.5%로 베이즈의 정리를 통해 도출된다.

${\displaystyle{\begin{aigned}&}{}\qquad P({\text{positive}}}{\text{positive}}})\\\\fract]&={\fract{positial}{positial}{posit}}{\text}}}}}P({\text{malimate})}{P({\text}{positive}}{\text}})P({\text{malimate})+P({\text{positive}}{\text{benign}})P({\text{benign}}}}\\[8pt]&={\frac {(0.80\cdot 0.01)}{{0.80\cdot 0.01)+(0.10\cdot 0.99)}}=0.075\end{aigned}}}}}}$

혼란의 다른 예는 다음과 같다.

• 경화 약물 사용자들은 마리화나를 사용하는 경향이 있다. 따라서, 마리화나 사용자들은 경화 약물을 사용하는 경향이 있다. (첫 번째 가능성은 경화 약물 사용을 고려할 때 마리화나를 사용하는 것이고, 두 번째는 경화 약물 사용을 고려할 때 경화 약물을 사용하는 것이다.)^[5]
• 대부분의 사고는 집에서 25마일 이내에 발생한다. 그러므로, 당신은 집에서 멀리 떨어져 있을 때 가장 안전하다.^[5]
• 테러리스트들은 공학적인 배경을 가진 경향이 있다. 그래서, 기술자들은 테러리즘을 선호하는 경향이 있다.^[6]

조건부 확률의 다른 오류는 몬티 홀 문제와 기준금리 오류를 참조하십시오. 불법 개종과 비교해 보십시오.

예 2

상대적 크기(%)	나쁘다	글쎄	합계
테스트 양성의	0.99 (진정 양성)	0.99 (거짓 긍정)	1.98
테스트 부정의	0.01 (거짓 음성)	98.01 (진정한 음수)	98.02
합계	1	99	100

치료 가능한 초기 형태로 심각한 질병을 앓고 있는 사람들을 식별하기 위해, 많은 수의 사람들을 선별하는 것을 고려할 수 있다. 이익은 명백하지만, 그러한 선별에 반대하는 주장은 거짓 양성 심사 결과에 의해 야기된 혼란이다. 만약 이 병에 걸리지 않은 사람이 첫 번째 검사에서 이 병에 걸린 것으로 잘못 발견되면, 그들은 매우 괴로워할 것이고, 나중에 더 세심한 검사를 받고 건강하다는 말을 듣는다고 해도, 그들의 삶은 여전히 부정적인 영향을 받을 수 있다. 이들이 질병에 대해 불필요한 치료를 할 경우 치료의 부작용과 비용으로 인해 피해를 입을 수 있다.

이 문제의 규모는 조건부 확률 측면에서 가장 잘 이해된다.

집단의 1%가 그 병에 걸리고 나머지는 잘 있다고 가정해 보자. 무작위로 개인을 고르는 건

${\displaystyle P({\text{ill}})=1\%=0.01{\text{\well}}}}}P({\text{well}})=99\%=0.99.}$

질병에 걸리지 않은 사람에게 선별 검사를 적용할 때 거짓 양성 결과를 얻을 확률은 1%(따라서 진정한 음성 결과를 얻을 확률은 99%이며, 시험의 특수성으로 알려진 숫자)라고 가정해 보자.

${\displaystyle P({\text{well}}}{\text{well}})=1\%,{\text{negative}{\text{well}}}}}}P({\text{well}})=99\%.}$

마지막으로, 질병에 걸린 사람에게 검사를 적용할 때 잘못된 음성 결과(그리고 검사의 민감도로 알려진 진정한 양성 결과를 얻을 확률은 99%)가 1% 있다고 가정한다.

${\displaystyle P({\text{negative}}{\text{ill}}})=1\%{\text{positive}{\text}}}}}}}{\p({\text{ill}}}})=99\%.}$

계산

전체 그룹에서 음성을 검사하고 음성을 검사하는 개인 비율:

${\displaystyle P({\text{well}}\cap{\text{well}})=P({\text{well}})\time P({\text{nector}}}}=99\time 99\%=98.01\%\%.}$

전체 그룹에서 아프고 양성(진정한 양성)을 검사하는 개인 비율:

${\displaystyle P({\text{ill}}\cap{\text{positive}})=P({\text{positive}}{\text}}}=1\%\time 99\%=0.99\%\%\%.}$

전체 그룹에서 잘못된 양성 결과를 가진 개인 비율:

${\displaystyle P({\text{well}}\cap{\text{well}})=P({\text{well}})\time P({\text{well}}})=99\%\time 1\%=0.99\%\%.}$

전체 그룹에서 잘못된 음성 결과를 가진 개인 비율:

${\displaystyle P({\text{ill}}\cap{\text{noction}})=P({\text{il}})\time P({\text{noction}}}}=1\%=0.01\%\%.}$

또한 전체 그룹에서 양성반응을 보이는 개인의 분수는 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin}P({\text{positive}})&{}=P({\well }}\cap{positive})+P({\text{ill}\cap{posital}\text{posital})\\&{}=0.99\%+0.99\%=1.98\%.\end{정렬}}}$

마지막으로, 검사 결과가 양성이라는 점을 고려할 때 개인이 실제로 이 병을 앓고 있을 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P({\text1}{positive})={\frac {P({\text{ill}\cap{\text{positive})}{P({\text{positive}})}}}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}=50\%.}$

결론

이 예에서는 가정된 확률을 99%로 하는 조건부 확률 P(양성질환)와 50%로 하는 P(일명 양성)의 차이와 쉽게 관련될 수 있어야 한다. 첫째는 질병에 걸린 개인이 양성반응을 보일 확률이다. 둘째는 양성반응을 보이는 개인의 확률이다.e는 실제로 그 병에 걸렸다. 따라서 이 예에서 선택한 확률로, 대략 동일한 수의 개인은 잘못된 긍정으로 인해 고통 받는 초기 치료의 혜택을 받는다. 이러한 긍정적 및 부정적 영향은 선별을 수행할지 또는 숫자를 줄이기 위해 시험 기준을 조정할지를 결정할 때 고려할 수 있다.r 거짓 긍정(더 많은 거짓 부정의 희생을 감수함).

참고 항목

• 컨버스(로직)
• 검사의 오류

참조