코치의 수렴 시험

Cauchy 수렴 테스트는 무한 직렬의 수렴 테스트에 사용되는 방법이다.그것은 그 시리즈의 조건의 합계에 의존한다.이 수렴 기준은 그의 교과서인 Cours d'Analyse 1821에 그것을 출판한 Augustin-Louis Cauchy의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

성명서

A 시리즈

${\displaystyle \sum _{}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 매 > 0 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 자연수 N이 있는 경우에만 수렴된다$$.

${\displaystyle a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}<\varepsilon }$

모든 n > N 및 모든 p ≥ 1에 대해 고정한다.^[2]

설명

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱 소재는 도전하여 제거할 수 있다. (2022년 2월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

테스트는 실제 숫자의$$ $공간{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle \mathb${R}과(절대값으로 제공된 메트릭 포함) 복잡한 숫자의 $공간$ C ${\$가) 모두 완료되었기 때문에 작동한다.여기서부터 부분 합이 있는 경우에만 시리즈가 수렴된다.

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}}}$

카우치 시퀀스야

Cauchy의 수렴 테스트는 모든 Cauchy 시퀀스가 수렴되는 공간인 전체 메트릭 공간($R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 및$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 등)$$에서만 사용할 수 있다.시리즈가 수렴한다는 것을 증명하기 위해서는 순서에서 유한한 진행 과정을 거쳐 그 원소들이 임의로 서로 가까워지는 것을 보여줄 필요가 있을 뿐이기 때문이다.

증명

무한계열의 부분합산 순서의 정합화에 관한 결과를 이용하여 무한계열 자체의 정합화에 적용할 수 있다.Cauchy Criteria test는 그러한 적용의 하나이다.${\displaystyle {실제}_{}}$ $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ a {\$displaystyle$ a_${k}$에 대해 위의 수렴 결과는 무한 시리즈를 암시한다$.$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\inful }a_{k}}}$

> ${\displaystyle \varepsilon >0}$마다 다음과 같은 숫자 N이 있는 경우에만 수렴한다.

m ≥ n ≥ N 은 함

${\displaystyle s_{m}-s_{n} =\왼쪽 \sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\오른쪽 <\varepsilon }}$^{[3]: 188}

아마도 [이 정리]에서 가장 흥미로운 부분은 카우치 조건이 한계의 존재를 내포하고 있다는 점일 것이다: 이것은 실로 실선의 완전성과 관련이 있다.코치 기준은 다양한 상황으로 일반화할 수 있으며, 이 모든 것은 "소멸 진동 조건은 수렴과 동일하다"^[4]로 느슨하게 요약할 수 있다.

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참조