부울의 팽창

흔히 샤논 팽창 또는 분해라고 하는 불(Boole)의 팽창 정리는 다음과 같다.${\displaystyle F=x\cdot F_{x}+x'\cdot F_{x'}}$, where ${\displaystyle F}$ is any Boolean function, ${\displaystyle x}$ is a variable, ${\displaystyle x'}$ is the complement of ${\displaystyle x}$, and ${\displaystyle F_{x}}$and ${\displa$$ystyle F_{x'}}$은(는) F$${\$displaystyle x}$ 인수가$$$$ $각각{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle$ 1$}$과(와$$) $0{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle$ 0$}$으로 설정된 F {\$displaystystyle F}$이다.

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및 F$$ ${\displaystyle {x{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$라는 용어는 x ${\displaystyle x$에 대해$$ $각각{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$의 양과 음의 섀넌 공분자로 불리기도 한다$$.제한 연산자에 의해 계산된 함수로서$,$operator (${\displaystyle F}$, x${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$ ) $displaystyle \operatorname {restrict}$ (F$,x$,${\displaystyle 0}$$)}$을 ${\displaystyle \mathrm{제한}}$하고${\displaystyle }$and$$${\displaystyle }$(F ,${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 1}$ )${\displaysty \operatorname {restrictit}$ (F$,x,$1)을 ${\displaystyle \mathrm{제한}}$한다($$평가(논리학) 및 부분 응용) 참조).

그것은 "부울대수의 근본적인 정리"^[1]라고 불려왔다.이론적인 중요성 외에도, 그것은 이진 의사결정 다이어그램, 만족도 해결사, 그리고 컴퓨터 공학 및 디지털 회로의 공식 검증과 관련된 많은 다른 기법들을 위한 길을 닦았다.이러한 엔지니어링 컨텍스트(특히 BBD)에서 확장성은 if-ten-ten-else로 해석되며, 변수$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$이(가) 조건이고$$ 공요인은 분기(가) 된다($각각{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$이(가) 참일 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F{}^{}}_{}}$${\displaystyle x_{}}${\$displaystyf_{x}).$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$은(는) 거짓임.^[2]

정리명세서

정리를 좀 더 명시적으로 진술하는 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}}=X_{1}\cdot f(1,X_{2},\dots,X_{n}),X_{n}+X_{n}+X_{1}'\cdots,X_{n}}$

변동 및 시사점

XOR-폼

이 문구는 분리 "+"가 XOR 운영자에 의해 대체될 때 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}}=X_{1}\cdot f(1,X_{2},\dots,X_{n})\plus X_{1}\cdots,X_{n}}}}}$

이중 형태

섀넌 확장에는 다음과 같은 이중 형태가 있다(관련 XOR 형식이 없음).

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots,X_{n}}=(X_{1}+f(0,X_{2},\dots,X_{n})\cdot(X_{1},X_{n})\cdots,X_{n}}}}}}}}}$

각 인수에 대해 반복된 적용은 부울 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 SoP(제품 합계) 정식 형태로 이어진다$.$ 예: $n$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2},$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{1},X_{2})&=X_{1}\cdot f(1,X_{2})+X_{1}'\cdot f(0,X_{2})\\&=X_{1}X_{2}\cdot f(1,1)+X_{1}X_{2}'\cdot f(1,0)+X_{1}'X_{2}\cdot f(0,1)+X_{1}'X_{2}'\cdot f(0,0)\end{aligned}}}$

마찬가지로, 이중 형태의 적용은 $({\displaystyle \cdot }$에 대한${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$의 분포도 법칙 사용) 합산(PoS) 정식 형태로 이어진다.$$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{1},X_{2})&=(X_{1}+f(0,X_{2}))\cdot (X_{1}'+f(1,X_{2}))\\&=(X_{1}+X_{2}+f(0,0))\cdot (X_{1}+X_{2}'+f(0,1))\cdot (X_{1}'+X_{2}+f(1,0))\cdot (X_{1}'+X_{2}'+f(1,1))\end{aligned}}}$

공동 인자 특성

공분자의 선형 특성:

두 개의 부울 함수 G와 H로 구성된 부울 함수 F의 경우 다음이 참이다.

$F$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이면 F ${\displaystyle x_{}}$= H ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$H'_{x}}}$

$F{\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$⋅ H ${\displaystyle F=G\cdot$ H$}$일 경우$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle G_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$

${\displaystyle F}$= G${\displaystyle }$+ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=G+H}$일 경우$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$+ H ${\displaystyle x_{}}$ ${\$

$F{\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$⊕ H ${\displaystyle F=G\oplus$ H$}$인 경우$$ $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle G_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle x_{}}$ ${\$

짝짓기 기능의 특성:

만약 F가 짝짓기 함수라면...

$F$가 양수인 경우${\displaystyle }$F = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ F ${\displaystyle x_{}}$+ ${\displaystyle {F{}^{}}_{}}$ x ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$F=$x\cdot F_{x}+$$F_{x'}}}$

F가 음수일 경우 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ F ${\displaystyle {x{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$

공동 인자 사용 작업

부울 차이:

리터럴 x에 대한 함수 F의 부울 차이 또는 부울 파생형은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}=F_{x}\oplus F_{x'}}}}}$

범용 수량화:

F의 보편적 정량화는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \ forall xF=F_{x}\cdot F_{x'}}}}$

실존적 수량화:

F의 실존적 계량화는 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \exists xF=F_{x}+F_{x'}}}$

역사

조지 부울은 자신의 사상의 법칙(1854년)에서 이러한 확장을 자신의 발의안 제2호인 "논리적 상징을 수반하는 함수를 확대 또는 개발하기 위해"로 제시했고,^[3] 이는 "부울과 다른 19세기 논리학자들에 의해 광범위하게 적용되었다.^[4]

Claude Shannon은 1949년 논문에서 다른 부울 정체성들 중에서도 이러한 확장에 대해 언급했고,^[5] 그 정체성에 대한 개폐 네트워크 해석을 보여주었다.컴퓨터 디자인과 스위칭 이론의 문헌에서, 그 정체성은 종종 섀넌에게 잘못 귀속된다.^[6][4]

전환 회로 적용

1. 이항 결정 다이어그램은 이 정리의 체계적 사용에서 따온 것이다.
2. 어떤 부울함수도 이 정리의 반복적 적용에 의해 기본 멀티플렉서의 계층구조를 이용하여 스위칭 회로에서 직접 구현될 수 있다.

참조

참고 항목

• 리드-뮬러 확장

외부 링크

• 멀티플렉서를 사용한 섀넌의 분해 예제.
• 적용 시 섀넌 분해 및 리티밍(PDF) 용지를 통한 순차 주기 최적화.