더블 콤플렉스

수학, 특히 호몰로지 대수학에서 이중 콤플렉스는 $\mathbb {Z}$ 콤플렉스의 일반화로서, Z ${\$ -grading $\mathbb {Z}$ 대신, 바이콤플렉스의 객체는 Z $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\$ -grading을 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 갖는다.The most general definition of a double complex, or a bicomplex, is given with objects in an additive category ${\mathcal {A}}$ . A bicomplex^[1] is a sequence of objects $C_{p,q}\in {\text{Ob}}({\mathcal {A}})$ with two differentials, the horizontal differential

$d^{h}:C_{p,q}\to C_{p+1,q}}}$

그리고 수직 차동

$d^{v:C_{p,q}\to C_{p,q+1}:{p,q+1$

양립가능성이 있는

$d_{h}\filename d_{v}=d_{v}\filename d_{h}$

따라서 이중 콤플렉스는 형태에 대한 대응 도표다.

${\displaystyle{\begin{행렬}&,&\vdots &,&\vdots &,&\\&,&\uparrow&&\uparrow&&\\\cdots &, \to&.C_{p,q+1}&,\to&C_{p+1,q+1}&,\to&\cdots \\&,&\uparrow&&\uparrow&&\\\cdots &, \to&.C_{p,q}&,\to&C_{p+1,q}&,\to&\cdots \\&,&\uparrow&&\uparrow&&\\&,&\vdots &,&\vdots &,&\\\end{매트릭스}}}.$

행과 열이 체인 콤플렉스를 형성하는 곳.

그 대신 일부 저자들은^[2] 정사각형을 반공식화할 것을 요구한다.그것은

$d_{h}\d_{v}+d_{v}\d_{h}=0.$

이것은 Total Complex의 정의를 용이하게 한다.By setting $f_{p,q}=(-1)^{p}d_{p,q}^{v}\colon C_{p,q}\to C_{p,q-1}$ , we can switch between having commutativity and anticommutativity.만약 역학 정의를 사용한다면, 이 교대 부호는 총 복합체의 정의에 나타나야 할 것이다.

예

자연에서 올라오는 바이콤플렉스의 자연적인 예가 많다.특히 Lie groupoid의 경우, 그것과^[3]^{pg 7-8} 연관된 바이콤플렉스가 있어 그것의 de-Rham 복합체를 건설하는데 사용할 수 있다.

바이콤플렉스의 또 다른 일반적인 예는 Hodge 이론에 있다 $.$ 여기서 거의 복잡한 다지관 $X$ 에서 구성 요소가 선형 또는 반선형인 $\Omega ^{p,q}(X)$ $\Omega ^{p,q}(X)$ $\Omega ^{p,q}(X)$ , $\Omega ^{p,q}(X)$ ( $\Omega ^{p,q}(X)$ $\Oomega ^{p,q}(X)$ 의 차등 형태의 바이콤플렉스가 있다 $X$ .For example, if $z_{1},z_{2}$ are the complex coordinates of $\mathbb {C} ^{2}$ and ${\overline {z}}_{1},{\overline {z}}_{2}$ are the complex conjugate of these coordinates, a $(1,1)$ -form is o형식에 의하다