백스터 순열

결합수학에서 백스터 순열은 순열 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 만족하는$$ 순열이다.

• σ(j + 1) σ(i) <(k) k(j) 또는 σ(j) <(k) <(i) <(i) <(j) <(i) <(j + 1) indices) +(j + 1)이 있는 지수 i < k > 는 없다.

마찬가지로, 박스터 순열은 2-41-3과 3-14-2의 두 점선 패턴을 피하는 것이다.

예를 들어 순열 perm = 2413 in S(한₄ 줄 표기법)는 백스터 순열이 아니다. 왜냐하면 i = 1, j = 2 및 k = 4를 취하면 이 순열은 첫 번째 조건을 위반하기 때문이다.

이러한 순열은 Glen E. Baxter에 의해 수학적 분석의 맥락에서 소개되었다.^[1]

열거

n = 1, 2, 3, ...의 경우, 길이 n의 백스터 순열의 숫자_n a는 다음과 같다.

1, 2, 6, 22, 92, 422, 2074, 10754, 58202, 326240, 1882960, 11140560, 67329992, 414499438, 2593341586, 16458756586,...

OEIS의 OEIS: A0011811 시퀀스 입니다.일반적으로 a에는_n 다음과 같은 공식이 있다.

${\displaystyle a_{n}\,=\,\sum _{k=1}^{n}{\frac {{\binom {n+1}{k-1}{{\binom {n+1}{k+1}:{1}{\binom {n+1}{1}:{1}:{\binom {n+1}{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$^[2]

In fact, this formula is graded by the number of descents in the permutations, i.e., there are ${\displaystyle {\frac {{\binom {n+1}{k-1}}{\binom {n+1}{k}}{\binom {n+1}{k+1}}}{{\binom {n+1}{1}}{\binom {n+1$$}}{2}}:}$^[3] S에서_n k – 1 강하로 백스터$$ 순열

기타 속성

• 길이 2n의 백스터 순열은 (C_n),² 길이 2n + 1의 제곱은 CC이다_nn+1.
• 길이 2n과 길이 2n + 1의 두 배로 교차하는 백스터 순열(즉, σ과 역 σ이⁻¹ 모두 교대로 이루어지는 순열) 수는 카탈로니아 숫자 C이다_n.^[4]
• 백스터 순열은 홉프 알헤브라스,^[5] 평면 그래프,^[6] 기울기와 관련이 있다.^[7][8]

동기: 통근 기능

백스터는 출퇴근 연속 기능의 고정점을 연구하면서 백스터 순열을 소개했다.특히, [0, 1]에서 f(g)(x) = 모든 x에 대해 g(f(x)) = g(f) = x, [0, 1]에서 f(g(x) = x가 미세하게 많은 경우)와 같이 f(g(x) = x와 같은 간격에서 스스로에 이르는 연속적인 함수인 경우:

• 이러한 고정 지점의 수가 홀수임.
• 고정점이₁ x < x < ...인₂ 경우< 그_{2k + 1} 다음 f와 g는 {x₁₃, x, ..., x_{2k + 1}} 및 {x₂, x, x₄, ..., x}에서_2k 상호 대조적인 순열 역할을 한다.
• {x₁, x₃, ..., x_{2k + 1}}에서 f에 의해 유도된 순열은 {x₂₄, x, ..., x_2k}에서 f에 의해 유도된 순열을 고유하게 결정한다.
• 자연적 리라벨링 x₁ → 1, x₃ → 2 등에서는 {1, 2, ..., k + 1}에 유도된 순열은 백스터 순열이다.

참고 항목

• 특정 순열 클래스 열거

참조

외부 링크

• OEIS 시퀀스 A001181(길이 n의 백스터 순열 수)