바로우의 부등식

기하학에서, 바로우의 불평등은 삼각형 내의 임의적인 점, 삼각형의 정점, 삼각형의 측면에 있는 특정 점 사이의 거리와 관련된 불평등이다.그것은 데이비드 프랜시스 바로우의 이름을 따서 지어졌다.

성명서

P를 삼각형 ABC 내부의 임의의 지점이 되게 하라.P와 ABC에서 각각 BPC, CPA, APB의 각도 이등분선이 BC, CA, AB와 교차하는 지점으로 U, V, W를 정의한다.그러면 바로우의 불평등은 다음과^[1] 같이 말하고 있다.

PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}

등변 삼각형의 경우만 동등하게 유지되고 P는 삼각형의 중심이다.^[1]

일반화

Barrow의 불평등은 볼록한 다각형으로 확장될 수 있다.For a convex polygon with vertices $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ let $P$ be an inner point and $Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}$ the intersections of the angle bisectors of $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$ ${\$ $PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}$ $연관$ 된 $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$ 다각형 면 $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ … , $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ - $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ , $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ ${\displaystyle A_{$ 1} $A_{2},\ldots, A_{n-1}A_{n}A_{n$ }A_{n}A_{n $}{$ 1} $A_$ {1}A_{1}:{1}}}}1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1 $}:{$ 1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}2}}: 그러면 $다음$ 과 같은 불평등이 유지된다 $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$ ^[2]^[3]

\sum \sum _{k=1}^{n} PA_{n} \geq \sec({\frac {}{pi }{n}\right)\sum _{k=1}^{n} PQ_{k}}}}}}}}}

여기서 $\sec(x)$ ( $\sec(x)$ ) $\sec(x)$ 은 secant 함수를 나타낸다 $\sec(x)$ .삼각형 케이스 $n=3$ = $n=3$ $n=3$ 의 경우, 초 $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ ( $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ ) $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ = $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {}}{pi$ }}}{ $3}\right)=$ 2}에 $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$ 의한 Barrow의 불평등이 된다 $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$

역사

에르두스 모르델을 보강하는 바로우

{\begin{aigned}&\quad \, PA + PB + PC \\&\geq 2(PQ_{a} + PQ_{b} + PF_{b})\&\geq 2(PF_{a} + PF_{b} +{c} )\end{c

바로우의 불평등은 PU, PV, PW를 제외하고 삼각형의 측면으로부터 P의 3거리로 대체되는 형태가 동일한 에르드-모델 불평등을 강화한다.그것은 데이비드 프랜시스 바로우의 이름을 따서 지어졌다.이러한 불평등에 대한 Barrow의 증거는 Erd ers-Mordell 불평등을 증명하는 미국 수학 월간지에 실린 그의 문제 해결책으로 1937년에 발표되었다.^[1]이 결과는 1961년 초에 "바로의 불평등"으로 명명되었다.^[4]

더 간단한 증거는 나중에 루이 J. 모르델에 의해 제시되었다.^[5]

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), "Solution to problem 3740", American Mathematical Monthly, 44 (4): 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.
^ M. 딘카: "에르데우스-모델 불평등에 대한 간단한 증거"인: Arcolle si Note Matematice, 2009년
^ 한스-크리스도프 렌하르트: "Verallgemeinurung and Verschérfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone"In: Archiv für Matheatuische Logik und Grundlagenforsch충, 밴드 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF0165056 (독일어)
^ Oppenheim, A. (1961), "New inequalities for a triangle and an internal point", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 53: 157–163, doi:10.1007/BF02417793, MR 0124774
^ Mordell, L. J. (1962), "On geometric problems of Erdös and Oppenheim", The Mathematical Gazette, 46 (357): 213–215, JSTOR 3614019.

외부 링크

이호주:불평등의 주제 - 이론과 기법

[emb-1] Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), "Solution to problem 3740", American Mathematical Monthly, 44 (4): 252–254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713.

[2] M. 딘카: "에르데우스-모델 불평등에 대한 간단한 증거"인: Arcolle si Note Matematice, 2009년

[3] 한스-크리스도프 렌하르트: "Verallgemeinurung and Verschérfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone"In: Archiv für Matheatuische Logik und Grundlagenforsch충, 밴드 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF0165056 (독일어)

[4] Oppenheim, A. (1961), "New inequalities for a triangle and an internal point", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 53: 157–163, doi:10.1007/BF02417793, MR 0124774

[5] Mordell, L. J. (1962), "On geometric problems of Erdös and Oppenheim", The Mathematical Gazette, 46 (357): 213–215, JSTOR 3614019.

[1]

[2]

[3]

[4]

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