배열(공간 파티션)

이산 기하학에서 배열은 d차원 선형, 아핀 또는 투영 공간을 서로 다른 차원의 연결된 세포로 분해하는 것으로, 기하학적 객체의 유한한 집합에 의해 유도되며, 대개 공간의 치수보다 1이 적고, 하이퍼플레인 o와 같이 서로 같은 유형의 경우가 많다.구들

정의

For a set ${\displaystyle A}$ of objects in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, the cells in the arrangement are the connected components of sets of the form ${\displaystyle (\cap X)\setminus \cup (A\setminus X)}$ for subsets ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle A}$. That is, for각 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 셀은$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 개체에 속하며 다른$$ 개체에 속하지 않는 점의 연결된 구성 요소다.예를 들어 유클리드 평면의 선 배열 셀은 세 가지 유형으로 구성된다.

• $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle X}$이(가$)$ 점을 통과하는 모든 선의 부분 집합인 격리된 점.
• 선 세그먼트 또는 선, $여기$서 X$${\$displaystyle X$}은$$ 한 선의 단일 톤 집합입니다.세그먼트 또는 레이는 A {\$displaystyle A}$의 다른 라인에 속하지 않고 해당 선에만 속하는 점의 연결된 구성 요소임
• $볼록{\displaystyle }$ 폴리곤(아마도 언바운드되지 않음), X ${\displaystyle$ X$}$이(가) 빈 집합이고 그 교차점(빈 교차점)이 전체 공간이다.이러한 다각형은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 선을 제거하여 형성된 평면의 부분 집합의 연결된 구성요소들이다$.$

배열의 종류

특히 관심사는 라인 배치와 하이퍼플레인의 배치다.

보다 일반적으로 기하학은 평면의 다른 유형의 곡선과 다른 복잡한 유형의 표면을 배열하는 것을 연구했다.^[1]복잡한 벡터 공간의 배열도 연구되었다. 복잡한 선은 복잡한 평면을 여러 개의 연결된 구성요소로 분할하지 않기 때문에 정점, 가장자리 및 셀의 결합체는 이러한 유형의 공간에는 적용되지 않지만, 그들의 대칭성과 위상적 특성을 연구하는 것은 여전히 흥미롭다.^[2]

적용들

배열 연구에 대한 관심은 배열들이 많은 문제에 대한 구조를 통일하고 있는 계산 기하학의 진보에 의해 주도되었다.대수적 표면과 같은 더 복잡한 물체에 대한 연구의 진보는 운동 계획과 컴퓨터 시각과 같은 "실제" 응용에 기여했다.^[3]

참조