그레이엄-폴락 정리

그래프 이론에서 Graham-Pollak 정리는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -vertex$$ 완료 그래프의 가장자리를 $n{\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle n-1}$ 미만의 완전한 양분 그래프로 분할할 수 없다고 명시한다.^[1]그것은 전화 교환 회로에 대한 신청과 관련하여 1971년과 1972년에 로널드 그레이엄과 헨리 O. 폴락에 의해 두 개의 논문에서 처음 발표되었다.^[2][3]

그 정리는 그 후 잘 알려지고 그래프 이론에서 반복적으로 연구되고 일반화되었는데, 부분적으로는 대수 그래프 이론의 기법을 이용한 우아한 증거 때문이다.^{[4][5][6][7][8]}더욱 강력하게, 아이그너 & 지글러(2018)는 모든 증거가 어떻게든 선형 대수학에 기초하고 있다고 쓰고 있다: "이 결과에 대한 결합적 증거는 알려져 있지 않다."^[1]

최적 칸막이 시공

정확히 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$의 완전한 쌍방향 그래프로 분할하는 것은 쉽게 구할 수 있다. 정점만 정렬하고 마지막을 제외한 각 정점에 대해서는 순서의 모든 이후 정점에 연결한 별을 형성한다.^[1]다른 칸막이도 가능하다.

최적성 증명

아이그너&지글러(2018)가 설명한 그레이엄-폴락 정리의 증명(Tverberg 1982년에 따라)은 각 꼭지점 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle v_{i}\in V}$에 대해$$ 실제 $변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ i ${\displaystyle v_$${i}}}}}}}$를 정의하며$,$ 여기서 $V$는 그래프에 모든 정점 집합을 나타낸다$$$.$Let the left sides and right sides of the ${\displaystyle k}$th bipartite graph be denoted ${\displaystyle L_{k}}$ and ${\displaystyle R_{k}}$, respectively and for any set ${\displaystyle S}$ of vertices define ${\displaystyle X(S)}$ to be the sum of variables for vertices in ${\dis$$Playstyle$ S$\}:$

${\displaystyle X(S)=\sum _{v_{i}\in S}x_{i}.}$

그 다음, 이 표기법에서, 초당적 그래프가 전체 그래프의 가장자리를 분할한다는 사실은 방정식으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \sum \sum _{i}x_{j}=\sum _{k}X(L_{k}X(R_{k}}).}$

이제 각 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{X}(V}$ ${\displaystyle )}$= 0 ${\displaystyle X(V)=0}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; X(V)=0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/be7f4c09f6afe686078f5d34d575a22d768932e8"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.837ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="79">}(L_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ X$(L_{k}}=0})$를 설정하는 선형 방정식의 시스템을 생각해 보십시오$.$ 이 방정식 시스템에 대한 어떤 솔루션도 비선형 방정식을 준수할 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X(V)^{2}={\Bigl (}\sum _{i}x_{i}{\Bigr )}^{2}\\&={\Bigl (}\sum _{i}x_{i}^{2}{\Bigr )}+{\Bigl (}2\sum _{i<j}x_{i}x_{j}{\Bigr )}\\&={\Bigl (}\sum _{i}x_{i}^{2}{\Bigr )}+{\Bigl (}2\sum _{k}X(L_{k})X(R_{k}){\Bigr )}\\&=\sum _{i}x_{i}^{2}.\\end{aigned}}$

그러나 모든 개별 변수가 0일 경우에만 실제 변수의 제곱합이 0일 수 있으며, 이는 선형 방정식 시스템에 대한 사소한 해결책이다.$n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$개$$ 미만의 완전한 초당적 그래프가 있는 경우, 방정식 $시스템$은 n$${\$displaystyle n}$개의$$ 미지수에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$개$$ 미만의 방정식을 가지며, 비경쟁적 해결책인 모순을 갖는다.따라서 전체 초당적 그래프의 수는 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$ 이상이어야 한다$.$^[1][4]

관련 문제

거리 라벨링

Graham과 Pollak은 보다 일반적인 그래프 라벨링 문제를 연구하는데, 그래프의 꼭지점은 문자 "0", "1" 및 "light"의 길이가 같은 문자열로 라벨을 붙여야 하며, 두 꼭지점 사이의 거리는 한 꼭지점에 0으로 라벨을 붙이고 다른 한 꼭지점에 1. A labe는 문자열 위치의 수와 같아야 한다.이와 같이 "직접" 문자가 없는 링어는 하이퍼큐브에 등축계를 내장할 수 있는데, 이는 부분 큐브인 그래프에서만 가능한 것이며, 그레이엄과 폴락은 논문 중 하나에서 "직접" 문자를 "스퀴드 큐브"^[3]에 내장할 수 있는 라벨을 말한다.

라벨 문자열의 각 위치에 대해, 한 쪽은 해당 위치에서 0으로 표시된 정점들로 구성되고 다른 쪽은 "1"로 표시된 정점들로 구성되는 완전한 초당적 그래프를 정의할 수 있다.전체 그래프의 경우, 모든 두 꼭지점이 서로 떨어져 있으므로, 모든 가장자리는 이러한 전체 그래프 중 정확히 하나의 그래프에 속해야 한다.이러한 방식으로 전체 그래프에 대한 이 유형의 라벨링은 가장자리가 완전한 양분 그래프로 분할된 것과 일치하며, 레이블의 길이는 분할된 그래프 수에 해당된다.^[3]

알론-삭스-시모어 추측

노가 알론, 마이클 삭스, 폴 세이모어는 1990년대 초 사실일 경우 그레이엄-폴락 정리를 상당히 일반화할 것이라는 추측을 공식화했다. 그들은 색수 $k{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty k+1}$의 그래프가 그 가장자리를 완전한 초당적 서브그래프로 분할할$$ 때마다 $적어도{\displaystyle }$ k ${\displaysty k}$서브그래프가 필요하다.마찬가지로 그들의 추측에 $따르면{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$} 완전$한 양분형$$ 그래프의 엣지 분리 결합은 항상 최대 $k{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k+1}$색상으로$$ 색칠할 수 있다.2012년 황과 스다코프는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}({}^{}}$ $){\displaystyle \Oomega(k^{6/5})$ 색상이$$ 필요한 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 완전$$ 양분형 그래프의 가장자리 분리 결합으로 형성된 그래프 패밀리를 구성하여 이러한 추측을 반증했다.^[9]

비클릭 칸막이

바이클릭 파티션 문제는 임의의 방향화되지 않은 그래프를 입력하는 것으로서, 그 가장자리 부분을 최소의 완전한 양방향 그래프로 입력하도록 요구한다.그것은 NP-hard이지만 고정 매개변수-추적 가능하다.문제에 대해 알려진 최상의 근사 알고리즘은 $O{\displaystyle (n}$/ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$)의 근사비율이 ${\displaystyle O(n/\log$ n$)}$이다$.$^[10][11]

참조