거의 확실한 가설 검정

통계에서 거의 확실한 가설 검정 또는 a.s 가설 검정에서는 확률 1로 통계 가설의 유효성을 결정하기 위해 거의 확실한 정합성을 이용한다. 이는 귀무 가설이 참일 때마다 충분히 큰 모든 표본에 대해 a.s. 가설 검정에서 귀무 가설 w.p. 1을 기각하지 못한다는 것이다. 마찬가지로, 대립 가설이 참일 때마다, 충분히 큰 모든 표본에 대해 a.s. 가설 검정에서는 확률 1의 귀무 가설을 기각한다. 유사한 선들을 따라, a.s. 신뢰 구간은 결국 확률 1과 함께 관심 있는 매개변수를 포함한다. 뎀보와 페레스(1994)는 거의 확실한 가설 실험의 존재를 증명했다.

설명

단순성을 위해 x $\textstyle x_{i}\sim N(\mu ,1)$ ~ $\textstyle x_{i}\sim N(\mu ,1)$ , $\textstyle x_{i}\sim N(\mu ,1)$ ) ${\$ $\$ $textstyle x_{i}\sim$ N $(\$ $,$ 1) $\textstyle x_{i}\sim N(\mu ,1)$ 및 단위 $\textstyle \mu$ 이라는 독립적이고 동일한 정규 랜덤 변수 시퀀스가 있다고 가정해 보십시오 $\textstyle \mu$ 자연 또는 시뮬레이션이 참 평균을 $\textstyle \mu _{0}$ 0 ${\$ 으로 선택했다고 가정하면, 평균 $\textstyle \mu$ ${\$ 의 확률 분포 함수는 다음과 같다.

[\\displaystyle \Pr(\mu \leq t)=[\mu _{0}+\ft ]}

Iverson 브래킷이 사용된 곳. 이 분포 함수를 추정하기 위한 순진한 접근방식은 오른쪽의 참 평균을 표본 평균, $\textstyle {\hat {\mu }}$ {\ $displaystyle \textstyle{\mu}}$ 과 같은 추정치로 대체하는 것이 될 것이다 $\textstyle {\hat {\mu }}$

{\begin{aligned}&\operatorname {E} \left[t\in \left[{\widehat {\mu }},+\infty \right]\right]=\Pr({\widehat {\mu }}\leq t)\\[4pt]={}&\Phi ({\sqrt {n}}(t-\mu _{0}))\rightarrow \Pr(\mu \leq t)-0.5[\mu _{0}=t]\end{aigned}}

즉, 참 분포 함수에 대한 근사치가 참 평균에서 0.5만큼 떨어져 있다는 것을 의미한다. However, $\textstyle \left[{\widehat {\mu }},+\infty \right]$ is nothing more than a one-sided 50% confidence interval; more generally, let $\textstyle Z_{\alpha _{n}}$ be the critical value used in a one-sided ${\displaystyle \textstyle 1-\al$ $pha _{n}}$ 신뢰 $\textstyle 1-\alpha _{n}$ 구간을 선택한 다음

\operatorname {E} \left[t\in \left[{\hat {\mu }}-{\frac {Z_{\alpha _{n}}}{\sqrt {n}}},+\infty \right]\right]\rightarrow \Pr(\mu \leq t)-\lim _{n\rightarrow +\infty }\alpha _{n}[\mu _{0}=t]

$\textstyle \alpha _{n}=0.05$ = $\textstyle \alpha _{n}=0.05$ ${\$ 을(를) 설정하면 근사치의 오차가 0.5에서 0.05로 감소하는데, 이는 10의 요인이다. 물론 $\textstyle \alpha _{n}\rightarrow 0$ → $\textstyle \alpha _{n}\rightarrow 0$ ${\$ 0 $}$ 을 $\textstyle \alpha _{n}\rightarrow 0$ 를) 그대로 두면,

\operatorname {E} \왼쪽[{\widehatt{\mu }-{\frac {Z_{\n}}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}}}+\inflight]\오른쪽 화살표 \Pr(\mu \leq t)

그러나 이는 기대치가 제한 값에 가깝다는 것을 보여줄 뿐이다. Naaman(2016년)은 유의 수준을 $\textstyle p>1$ $\textstyle \alpha _{n}=n^{-p}$ > $\textstyle p>1$ ${\$ $alpha_{n}=n^{-$ $p}}$ 로 $\textstyle \alpha _{n}=n^{-p}$ 설정하면 상당히 $\textstyle p>1$ 가벼운 규칙성 조건에서 타입 I 및 타입 II 오류 수가 유한하게 되며 타입 II 오류는 w. $\textstyle \alpha _{n}=n^{-p}$ .1로 나타났다. 즉 $\textstyle t$ 각 $\textstyle t$ ${\$ $\textstyle N(t)$ $\textstyle t}$ 에 대해 $\textstyle n>N(t)$ $\textstyle N(t)$ n $\textstyle n>N(t)$ > $\textstyle n>N(t)$ ( $\textstyle N(t)$ ) {\ $displaystyle \textstyle N$ $($ t $\textstyle N(t)$ 이(가 $)$ 존재한다는 것을 $의미$ 한다 $\textstyle n>N(t)$

\left[{\widehat{\mu}-{Z_{\n}}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}},+\inflit\right]=\Pr(\muleq t)

평등이 w.p. 1. 즉, 단측 a.s 신뢰 구간의 지시 함수는 실제 분포 함수에 대한 좋은 근사치가 된다.

적용들

선택적 정지

예를 들어, 한 연구자가 표본 크기가 10인 실험을 수행했지만 통계적으로 유의한 결과를 발견하지 못했다고 가정합시다. 그런 다음 관찰 결과를 하나 더 추가하고 중요한 결과가 나올 때까지 이 프로세스를 계속하여 다시 테스트하기로 결정했다고 가정해 보십시오. 이 시나리오에서, 10개의 관측치의 초기 배치 결과가 미미한 경우, 실험이 일부 유한 표본 크기인 ${\$ 에서 중지될 확률은 Boole의 불평등을 이용하여 경계할 수 있다 $N_{s}$

\Pr(N_{s}<+\inflt )<\sum _{n=11}^{+\inflt }\alpha _{0.0952

여기서 $\alpha _{n}=n^{-2}$ = $\alpha _{n}=n^{-2}$ - 2 ${\$ 이는 정지 시간이 유한한 고정된 유의 수준 시험과 확률 1보다 작지만, 위의 합계가 1보다 클 수 있으므로 유의 수준의 모든 시퀀스에 대해 이 한계치는 의미가 없을 것이다( $\alpha _{n}=n^{-1.2}$ n $\alpha _{n}=n^{-1.2}$ = n $\alpha _{n}=n^{-1.2}$ - 1. $\alpha _{n}=n^{-1.2}$ $\displaystyle \properties _{n}=n^{-1.$ ${{}}}$ 이(가) 하나의 예일 것이다 $\alpha _{n}=n^{-1.2}$ .) 하지만 그 대역폭을 사용한다고 해도, 만약 테스트가 10개의 묶음으로 수행되었다면,

\Pr \left(N_{s}<+\infully \right)}\sum \limits _{i=2^{\infully }\refted }[10i\right]^{-1.2}<0.3.

공정이 결코 끝나지 않을 가능성이 상대적으로 큰 결과를 낳는다.

출판편향

이 접근법의 또 다른 예로서, 학술지가 p-값이 0.05 미만인 논문만 받아들인다면, 동일한 효과의 20개 독립 연구 중 약 1개가 없을 때 유의미한 결과를 발견할 것이다. 그러나 저널에 최소 표본 크기가 100이고 최대 유의 수준이 $\alpha _{n}<n^{-1.2}$ < $\alpha _{n}<n^{-1.2}$ - $\alpha _{n}<n^{-1.2}$ . ${\$ _ ${n}{n^{-$ 1. $2}에$ 의해 주어진다면 250개 연구 중 약 1개가 효과가 없을 것으로 예상할 수 있다(최소 표본 크기가 30이었다면 여전히 60개 중 1개 $\alpha _{n}<n^{-1.2}$ 최대 유의 수준α n<>에 의해 주어 진했다;n− 2{\displaystyle \alpha_{n}<, n^{-2}}(어떤 형식과 관련하여 나는 가장 오른쪽 열의 유형 I오류 여러 비교가 있더 작은 샘플 성과를 가질 것이다), 때에는 아무것도 없(만약 최소 표본 크기 이상 대략 110000학업이 효과를 발견하게 할 것이라고 기대할 것이다.30, 900분의 1이 될 것이다. 또한 A.S 가설 검정은 다중 비교에 대해 강력하다.

제프리스-린들리 역설

린들리의 역설은

예를 들어, 5% 수준에서는 귀무 가설을 기각할 수 있는 충분한 증거를 나타내는 빈도수 검정에서 결과는 "중대한"이다.
귀무 가설이 대립 가설보다 데이터와 더 잘 일치한다는 유력한 증거를 나타내는 귀무 가설이 후행 확률은 높다.

그러나 이 역설은 a.s 가설 검정에는 적용되지 않는다. 베이시안과 단골주의자는 결국 같은 결론에 도달할 것이다.

참고 항목

참조

Naaman, Michael (2016). "Almost sure hypothesis testing and a resolution of the Jeffreys–Lindley paradox". Electronic Journal of Statistics. 10 (1): 1526–1550.
Dembo, Amir; Peres, Yuval (1994). "A topological criterion for hypothesis testing". The Annals of Statistics. 22 (1): 106–117.

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