선험 확률

선험 확률은 순전히 연역적 추론에 의해 도출되는 확률이다.^[1] 선험 확률을 도출하는 한 가지 방법은 무관심의 원칙인데, 무관심의 원칙은 상호 배타적이고 집합적으로 철저한 사건이 N개 있고, 그것들이 동등하게 발생할 가능성이 있는 경우, 주어진 사건이 발생할 확률은 1/N이라고 말하는 성격을 가지고 있다. 이와 유사하게 K 사건의 특정 집합 중 하나의 확률은 K / N이다.

위의 방법에서 확률을 정의할 때의 한 가지 단점은 한정된 사건 집합에만 적용된다는 것이다.

베이시안 추론에서 "비정보적 사전" 또는 "객관적 사전"은 선행 확률의 특정한 선택이다.^[2] "사전 확률"은 더 넓은 개념이라는 점에 유의한다.

선험과 후험의 철학 구분과 유사하게, 베이지안 추론에서 선험은 추론을 하기 전에 데이터 분포에 대한 일반적인 지식을 나타내는 반면, 후행은 추론의 결과를 통합하는 지식을 나타낸다.^[3]

통계 역학의 선행 확률

priori 확률은 통계 역학에서 중요한 응용을 가지고 있다. 고전적 버전은 총 사건 수에 대한 초등 사건 수(예: 주사위를 던지는 횟수)의 비율로 정의되며, 이는 순수하게 연역적으로, 즉 실험 없이 간주된다. 주사위를 던지지 않고 표에서 보면 각 초등사건은 연역적으로 같은 확률을 갖도록 추론된다. 따라서 (완벽한) 주사위의 상상의 투척의 각 결과의 확률은 1/6이다. 주사위의 각 면은 동일한 확률로 나타난다. 즉, 각 기본 사건에 대해 정의된 척도가 될 확률이다. 주사위를 스무 번 던지고 (20번 중) 숫자 6이 윗면에 몇 번 나타나는지 물어보면 결과가 달라진다. 이 경우 시간은 작용하게 되고 우리는 시간이나 주사위가 던져지는 횟수에 따라 다른 유형의 확률을 가진다. 반면에, 선험 확률은 시간과 무관하다 - 당신은 그것을 만지지 않고 당신이 원하는 만큼 테이블 위에 있는 주사위를 볼 수 있고 당신은 숫자 6이 윗면에 나타날 확률을 1/6로 추정한다.

통계역학에서, 예를 들어 유한 $체적{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V$}에 포함된 기체의 그것과 같은 경우$,$ 공간 좌표 ${\$와 운동 $좌표{\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 이 좌표에 의해 확장되는 위상 공간에 유한하다. In analogy to the case of the die, the a priori probability is here (in the case of a continuum) proportional to the phase space volume element ${\displaystyle \Delta q\Delta p}$ divided by ${\displaystyle h}$, and is the number of standing waves (i.e. states) therein, where ${\displaystyle \Delta q}$ is the range of 변수 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle q}$$}$ 및$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ p ${\displaystyle \Delta p}$은 변수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 범위임$$($$여기서 한 차원으로 단순성을 고려함). In 1 dimension (length ${\displaystyle L}$) this number or statistical weight or a priori weighting is ${\displaystyle L\Delta p/h}$. In customary 3 dimensions (volume ${\displaystyle V}$) the corresponding number can be calculated to be ${\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}$$\}\}.$^[4] 이 양을 양자역학(즉, 파동) 역학에서 여러 상태를 주는 것으로 이해하려면 양자역학에서 모든 입자가 슈뢰딩거 방정식의 해법인 물질파와 연관되어 있다는 것을 기억하라. $체적{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle$ $\epsilon ={\bf{p}^{2$$}/2m}$의 자유 입자의 경우 그러한 물질 파동은 명시적으로$$ $나타난다$.

${\displaystyle \psi }$ sin${\displaystyle \sin }$ (l${\displaystyle lx}$/ L ) sin ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle (m}$ ${\displaystyle \pi }$ y${\displaystyle }$/ L${\displaystyle }$) sin${\displaystyle \sin }$ (${\displaystyle n}$ z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle L}$ ) $displaystyle \psi \propto \sin(l\pi$x/$L)\sin(m\pi$y/$L)\sin(n\pi$z/$L$

여기서 $l{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l,m,n}$은(는) 정수다$$. The number of different ${\displaystyle (l,m,n)}$ values and hence states in the region between ${\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}$ is then found to be the above expression ${\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}$ by considering the area cov이 점에 주의하여 더욱이, 불확실성 관계에 비추어 볼 때, 1개의 공간적 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle p}$ Δ p ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h$

이러한 상태는 구별할 수 없다(즉, 이러한 상태는 라벨을 부착하지 않는다). 중요한 결과는 리우빌의 정리, 즉 이 위상 공간 체적 요소와 그에 따른 선행 확률의 시간 독립성으로 알려진 결과다. 이 수량의 시간 의존성은 시스템의 역학에 대해 알려진 정보를 의미할 수 있으며, 따라서 선험 확률은 아니다.^[5] 따라서 그 지역은

${\displaystyle \Oba :={\frac {\delta q\Delta p}{\int \Delta q\delta p},\;\;\int \Delta q\Delta p=const,}$

시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$과(와) 구별될 경우(해밀턴 방정식의 도움으로) 0: 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 볼륨은 시간 0과 동일하다$$. 하나는 또한 이것을 정보의 보존이라고 설명한다.

완전한 양자 이론에서 하나는 유사한 보존 법칙을 가지고 있다. 이 경우 위상공간 영역은 투영 연산자 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$의 관점에서 표현된 상태 공간의 하위공간으로 대체되며, 위상공간에서 확률 대신 확률밀도를 가진다.

${\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{{\text{Tr}(P)}},\;\;;;;;;;;;N={\text{Tr}(P)=const,}$

여기서 N ${\displaystyle N}$은(는) 하위 공간의 차원성이다. 이 경우의 보존 법칙은 S 매트릭스의 단위성으로 표현된다. 어느 경우든 고려사항은 폐쇄된 격리 시스템을 가정한다. 이 폐쇄형 격리 시스템은 (1) 고정 $에너지{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$ 및$$ (2) (c) 평형 상태에$$ $N{\displaystyle }${\$displaystyle N}$의 고정 개수가 있는 시스템이다. 만약 누군가가 이 시스템의 엄청난 수의 복제품을 고려한다면, 사람들은 소위 "마이크로캐논 앙상블"이라고 불리는 것을 얻게 된다. 양자 통계에 ``단절된 시스템의 선험 확률이 동일한 근본적 추정"이라고 가정하는 것은 이 시스템을 위한 것이다. 이것은 평형상태의 격리된 시스템이 동일한 확률로 접근가능한 각각의 상태를 차지한다고 말한다. 따라서 이러한 근본적인 가정은 선험 확률을 시스템의 퇴보, 즉 동일한 에너지를 가진 다른 상태의 수와 동일시할 수 있게 한다.

예

다음 예는 (a) 고전적 및 (b) 정량적 맥락에서 선행 확률(또는 선행 가중치)을 예시한다.

(a) 고전적 a priori 확률

구형 극좌표에서 관성 I 모멘트가 있는 이원자 분자의 회전 에너지 E를 고려하십시오${\displaystyle (위}$의$$$q{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \$$theta ,\phi$$}).$ $$즉, 위의 $q{\displaystyle }$ {\$displaystyle q}$은 here$$ , ${\displaystyle \varphi }$ϕ$\displaystyle$ }), $$\, \.

${\displaystyle E={\frac {1}{2}I}}\왼쪽(p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\pi }^{2}}:{\sin ^{2}\theta }}\오른쪽).}$

$({\displaystyle }$p${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ , ${\displaystyle p_{}}$ $\$${\displaystyle {}_{}}$) {\$displaystyle (p_{\theta }},p_{\$pi $}})$ -curve$$ for constant E 및 $\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \theta }$은 면적의 타원형이다$$.

$displaystyle \point dp_{\dp_{\pi }=\pi {\sqrt {2$$IE}{\sqrt{2$$}$$IE}\sin \theta =2\pi IE\sin \theta$ $\}.$

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ 및$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) 통해 통합함으로써 상수 에너지 E에 대해 적용되는$$ 총 위상 공간 볼륨은

${\displaystyle \int _{0}^{\phi =2\pi }\int _{0}^{\theta =\pi }2I\pi E\sin \theta d\theta d\phi =8\pi ^{2}$$IE=\point dp_{\theta }dp_{\phi }d\theta$ d$\phi$ $\},$

따라서 에너지 범위 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle dE}$의 고전적 a priori 가중치는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle \Oomega \$propto }($$$E{\displaystyle }$+ ${\displaystyle d}$ E ${\displaystyle E$$}$의 위상 공간 볼륨$)$ - ($E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$ - $8{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle$ 8${\pi }^2}IdE$가 부여한다$.$$}$

(b) 양자 a priori 확률

Assuming that the number of quantum states in a range ${\displaystyle \Delta q\Delta p}$ for each direction of motion is given, per element, by a factor ${\displaystyle \Delta q\Delta p/h}$, the number of states in the energy range dE is, as seen under (a) ${\displaystyle 8\pi ^{2}I$$dE/h^{2}}$ 회전하는 이원자 분자용$$. 파동 역학으로부터 회전하는 이원자 분자의 에너지 수준은 다음과 같이 알려져 있다.

${\displaystyle E_{n}={\frac {n(n+1)h^{2}}:{8\pi ^{2}I},}$

각각의 그러한 수준(2n+1)은 퇴화한다. $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ /${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}{}_{}}$= 1${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle dn/dE_{n}=1/(dE_{n}/dn)$을 평가하여 얻게$$ 된다.

${\displaystyle {\frac {dn}{d.E_{n}}={\frac {8\pi ^{2}I}{{{n+1)h^{2}}},\;\;\;(2n+1)dn={\frac {8\pi ^{2}I}{h^{2}}:dE_{n}.}$

따라서 위의$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}과 비교하여 dE 범위의 대략적인 상태 수가 퇴보 즉, 에 의해 주어진다는 것을 알게 된다.

$\displaystyle \Sigma \propto(2n+1)dn.}$

따라서 고전적 컨텍스트 (a)에서 선행 가중치는 여기 계량적 컨텍스트 (b)에서 선행 가중치에 해당한다. 자연 주파수 ${\displaystyle$\nu$}$의 1차원 단순 고조파 오실레이터의 경우, (a$$) $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ d ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle d}$ E${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaysty \propto dE/\$${\displaystyle \mathrm{nu}}$ $\}$ 및 (b) $displaysty \Sigma \propto dn}($불량 없음). 따라서 양자역학에서 선험 확률은 사실상 퇴행성의 척도(즉, 동일한 에너지를 가진 상태 수)이다.

수소원자 또는 쿨롱 전위(상수 에너지에 대한 위상공간 체적의 평가가 더 복잡한 경우$)$의 경우, 양자역학적 퇴행성은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \propto }$ 1${\displaystyle }$/ n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 1$/n^{2}}$과 함께 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 2${{\$displaysty}${\displaystyle 임}$을 ${\displaystyle \mathrm{알고}}$ 있다. 따라서$$$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ n ${\displaystyle \propto }$ n 2 d ${\displaysty$}$\Sigma \propto$ n$^{2}dn$

선행 확률 및 분포 함수

통계역학(모든 책 참조)에서 다양한 통계에 대한$$ 소위 분포함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$를 도출한다. 페르미-디락 통계와 보스-아인슈타인 통계량의 경우 이러한 함수는 각각 다음과 같다.

${\디스플레이 스타일 f_{i}^{FD}={\frac {1}{e^{{e^{(\epsilon _{i}-\epsilon _{0})/kT}+1},\quad f_{i}^{BE}={\frac {1}{e^{{e^{(\epsilon _{i}-\epsilon _{0})/kT}-1}.}$

These functions are derived for (1) a system in dynamic equilibrium (i.e. under steady, uniform conditions) with (2) total (and huge) number of particles ${\displaystyle N=\Sigma _{i}n_{i}}$ (this condition determines the constant ${\displaystyle \epsilon _{0}}$), and (3) total energy ${\displaystyle E={\mathrm{\Sigma }}_i{n}_i}$${\displaystyle E=\Sigma _{i}n_{i}\epsilon _{i}}$, i.e. with each of the ${\displaystyle n_{i}}$ particles having the energy ${\displaystyle \epsilon _{i}}$. An important aspect in the derivation is the taking into account of the indistinguishability of particles and states in quantum statistics, i.e. there par티클과 주에는 라벨이 없다. 페르미온의 경우, 전자와 마찬가지로 바울리 원리에 순종하는 경우(주당 입자 1개만 허용되거나 허용되지 않는 경우)에는 따라서 사람이 있다.

${\displaystyle 0\leq f_{i}^{{}}}FD}\leq 1,\quad 반면, 0\leq f_{i}^{BE}\leq \lupty .}$

따라서 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle D_{}^{}}$ ${\$n1}^$FD}}$은 에너지 ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ i ${\$와 $온도{\displaystyle }$ T$${\$displaystyle$T}에서 실제로 전자가 점유한 상태의 분율을 측정한 값이며$,$ 반면에 priori $확률{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ i$${\$displaystyle g_{i}$은 사용 가능한 파동 기계 상태의 수를 측정한 값이다$$. 그러므로

${\displaystyle n_{i}=f_{i}g_{i}.}$

$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은 균일한 조건 하에서 일정하므로$$(볼륨 요소에서 흘러나오는 만큼의 많은 입자도 꾸준히 유입되어 원소의 상황이 정적으로 나타남), 즉 $시간{\displaystyle }$ t$${\$displaysty$ t$\},$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaysty g_{i}$는 시간 t ${\display$}에도 독립적이다$$.앞에서 설명한$$ $스타일$ t$}$을(를) 참조하십시오.

${\dfrac {df_{i}}{dt}=0,\f_{i}=f_{i}(t, {\bf{v}_{i},{\bf{r}_{i})).}$

이 방정식을 부분파생상품으로 표현하면 볼츠만 운송 방정식을 얻는다. $여기$서$$좌표 r {\$displaystyle {\bf {r}$ 등은$$ 어떻게 갑자기 나타나는가? 위에 전기나 다른 분야에 대해서는 언급이 없었다. 따라서 그러한 분야가 존재하지 않는 이상 우리는 위와 같은 페르미-디락 분포를 갖게 된다. 그러나 그러한 분야가 존재함에 따라 $우리$는 f ${\displaystyle f}$의 추가적인 의존성을 갖게 된다$.$

참조