A∞-operad

대수 위상과 대수 위상의 연산자 이론에서 A-operad는_∞ 호모토피 일관성 있는 연관성이 있는 곱셈 지도의 매개변수 공간이다. (호모토피 일관성 있는 연관성과 호모토피 일관성 있는 정류자를 모두 설명하는 연산자를 E-operad라고_∞ 한다.)

정의

위상학적 공간에 대칭 그룹의 작용이 있는 피연산자의 (현상) 설정에서, 피연산자 A(n)의 모든 공간이 곱셈 작용(여기서 n n N)과 이산 공간 σ_n(대칭 그룹)에 상당하는 σ 동등_n 호모토피일 경우, 피연산자 A는 A-operad라고_∞ 한다.비대칭 피연산자(비대칭 피연산자, 순열 없는 피연산자라고도 함)의 설정에서 피연산자 A는 모든 공간 A(n)가 수축 가능한 경우_∞ A이다.위상학적 공간이 아닌 다른 범주에서 호모토피와 수축성의 개념은 체인 복합체 범주의 호몰로지 동등성과 같은 적절한 아날로그 개념으로 대체되어야 한다.

A_n-operads

용어 A는 "연관"을 의미하며, 무한도 기호들은 연상성이 "모든" 상위 호모토피까지 요구된다고 말한다.보다 일반적으로는 특정 수준의 호모토피에만 연관되는 파라메트리징 승수인 A-operad_n(n ∈ N)의 개념이 약하다.특히.

• A-공간은₁ 뾰족한 공간이다.
• A-공간은₂ 연관성 조건이 없는 H-공간이다.
• A-스페이스는₃ 호모토피 연상 H-스페이스다.

A-operads_∞ 및 단일 루프 공간

스페이스 X는 $X$가 A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 대수이고 연결된 구성요소의 모노이드 π₀(X)이 그룹인 경우에만 BX가 가리키는 일부 다른 공간의 루프 공간이다.$∞{\$ -operad에$$ 대한 대수학( 대수학)은 $A{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -pace라고 한다.이러한 루프 공간의 특성화에는 세 가지 결과가 있다.먼저 루프스페이스는 $∞{\$공간이다$$.둘째, 연결된 $∞{\$}}-공간$$ X는 루프 공간이다.셋째, 연결이 끊겼을 가능성이 있는 $∞{\$공간을$$ 그룹 완결하는 것이 루프스페이스다.

호모토피 이론에서 $∞{\$ -operads의$$ 중요성은 $∞{\$ -operads와$$ 루프 공간 사이의 이러한 관계에서 비롯된다.

A-알제브라스_∞

$A{\displaystyle {}_{}}$$∞{\$operad에$$ 대한 대수학을 A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$-algebra라고$$ 한다.예를 들면, 정의될 수 있는 경우, 동시성 다지관의 후카야 범주를 특징으로 한다(의사성 곡선 참조).

예

$특별히{\displaystyle {}_{}}$ 유용하지는 않지만, A$∞{\$operad의$$ 가장 명백한 $예$는 a${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) = ${\displaystyle {nn}_{}}${\$displaystyle a$(n)=\$Sigma _{n$에 의해 주어진 연관 연산자다.이 오퍼레이터는 엄격히 연관된 승수를 설명한다.정의상 다른 $모든{\displaystyle {}_{}}$ A$∞{\$ -operad에는$$ 호모토피 동등성인 에 대한 지도가 있다.

A-operad의_∞ 기하학적 예는 Stasheff polytopes 또는 associiahedra에 의해 주어진다.

덜 조합된 예로는 간격이 적은 연산자를 들 수 있다.공간 $A{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle A(n)}$은(는) 단위 간격에 n개 분리 간격을 모두 내장하는 것으로 구성된다$$.

참고 항목

• 호모토피 연관 대수
• 공작의
• E-infinity 피연산자
• 루프 스페이스

참조

• Stasheff, Jim (June–July 2004). "What Is...an Operad?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 51 (6): 630–631. Retrieved 2008-01-17.
• J. Peter May (1972). The Geometry of Iterated Loop Spaces. Springer-Verlag. Archived from the original on 2015-07-07. Retrieved 2008-02-19.
• Martin Markl; Steve Shnider; Jim Stasheff (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. American Mathematical Society.
• Stasheff, James (1963). "Homotopy associativity of H-spaces. I, II". Transactions of the American Mathematical Society. 108 (2): 275–292, 293–312. doi:10.2307/1993608. JSTOR 1993608.