Y- δ 변환

이 기사는 대부분의 독자가 이해하기에는 너무 기술적일 수 있습니다. 기술적인 세부 사항을 제거하지 않고 비전문가들이 이해할 수 있도록 개선할 수 있도록 도와주시기 바랍니다. (2021년 1월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 안내)

전기공학에서 와이델타라고도 쓰여진 Y- δ 변환은 전기 네트워크의 분석을 단순화하기 위한 수학적 기술입니다. 그 이름은 각각 문자 Y와 그리스 대문자 δ와 같은 모양의 회로도 모양에서 유래했습니다. 이 회로 변환 이론은 1899년 아서 에드윈 케넬리에 의해 발표되었습니다.^[1] 3상 전력 회로의 분석에 널리 사용되고 있습니다.

Y- δ 변환은 3개의 저항에 대한 스타-메쉬 변환의 특수한 경우로 간주될 수 있습니다. 수학에서 Y- δ 변환은 원형 평면 그래프 이론에서 중요한 역할을 합니다.

이름

Y-Y- δ 변환은 다양한 다른 이름으로 알려져 있으며, 주로 두 가지 도형 중 하나의 순서로 나열된 두 가지 도형을 기반으로 합니다. 와이(wye)로 표기되는 Y는 T 또는 별이라고도 할 수 있고, 델타(delta)로 표기되는 δ는 삼각형, π(pi) 또는 메시(mesh)라고도 할 수 있습니다. 따라서 변환의 일반적인 이름에는 wye-delta 또는 delta-wye, star-delta, star-mesh 또는 T- π가 포함됩니다.

기본 Y-δ 변환

변환은 3개의 터미널이 있는 네트워크에 대해 동등성을 설정하는 데 사용됩니다. 세 개의 요소가 공통 노드에서 종료되고 소스가 없는 경우, 노드는 임피던스를 변환함으로써 제거됩니다. 동등성을 위해서는 두 네트워크 모두에서 임의의 단말 쌍 사이의 임피던스가 동일해야 합니다. 여기에 주어진 방정식은 복잡한 임피던스뿐만 아니라 실제 임피던스에도 유효합니다. 복소 임피던스는 일반적인 방식으로 저항을 양의 실수로 나타내고, 또한 반응을 양과 음의 허수로 나타내는 옴으로 측정된 양입니다.

δ에서 Y로의 변환에 대한 방정식

일반적인 아이디어는 임피던스 ${\displaystyle {RY}_{}}$ ${\$를 계산하는 것입니다.$Y}}:$ Y 회로의$단자$노드에서 $임피던스$ R$'$ {\$displaystyle$R'}, R$$$″$ {\displaystyle R'}을(를) $δ$ 회로의 인접 노드에 대해

${\displaystyle R_{\text}Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

$여기$서$$ δ {\displaystyle$$R_{\Delta }}는 모두 δ 회로의 임피던스입니다. 이것은 특정 공식을 산출합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}$

Y에서 δ로 변환하는 방정식

일반적인 아이디어는 ${\displaystyle {다음}_{}}$을 통해$$δ $회로$의 임피던스 R$$δ {\display$$R_{\Delta }를 계산하는 것입니다.

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{반대}}}}$

여기서 ${\displaystyle {RP}_{}}$ = R ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 + R 2$$R 3 + R 3 R 1 {\display R_{P} = R_{1$}$ R_{2}+R_{2}$R_{3}+R_{3}$$R_{1}}$는 Y 회로의 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이고 ${\displaystyle {\text{반대쪽}}_{}}$ ${\display R_{\text{반대쪽}}$는 R$$$δ$${\display R_{\$Delta$$와 반대쪽 Y 회로의 노드의 임피던스입니다. 개개의 간선에 대한 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

또는 저항 대신 출입을 사용하는 경우:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}\end{align}}}$

어드미션을 사용한 Y ~ δ의 일반적인 공식은 저항을 사용한 Y δ ~ Y와 유사합니다.

변화의 존재와 유일성에 대한 증명

변환의 실현 가능성은 전기 회로에 대한 중첩 정리의 결과로 보여질 수 있습니다. 더 일반적인 별-메쉬 변환의 상관 관계로 도출된 것이 아니라 다음과 같이 짧은 증명을 제시할 수 있습니다. The equivalence lies in the statement that for any external voltages (${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ and ${\displaystyle V_{3}}$) applying at the three nodes (${\displaystyle N_{1},N_{2}}$ and ${\displaystyle N_{3}}$), the corresponding currents (${\displaystyle I_1,}$${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle I_{1}, I_{2}}$ 및 ${\displaystyle I_{}}$ $3$ ${\displaystyle I_{3$는 Y ${\displaystyle {및}_{}}$ δ 회로 모두에서 정확히 동일하며 그 반대도 마찬가지입니다. 이 증명에서는 노드에서 주어진 외부 전류로 시작합니다. 중첩 정리에 따르면, 전압은 전류가 흐르는 세 개의 노드에 적용되는 다음 세 가지 문제의 노드에서 결과 전압의 중첩을 연구함으로써 얻을 수 있습니다.

1. ${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0}$
2. ${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{13}{}}$(${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}),}$- ${\displaystyle \frac{13}{}}$(${\displaystyle I{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$- I ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\$ 0$,{\frac {1}{3}\left(I_{2}-I_{3}\right$), -${\frac {1}{3}\left(I_{2}-I_{3}\right)},$
3. ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)}$

등가성은 $I$ ${\displaystyle 1_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$+ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = 0 ${\displaystyle I_{1}+$라는 Kirchhoff의 회로 법칙을 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.$I_{2}+I_{3$}$=0}.$ 이제 각 문제는 하나의 이상적인 전류원만을 포함하기 때문에 비교적 간단합니다. 각 문제의 노드에서 정확히 동일한 결과 전압을 얻으려면 두 회로의 등가 저항이 동일해야 합니다. 직렬 및 병렬 회로의 기본 규칙을 사용하면 쉽게 알 수 있습니다.

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.}$

일반적으로 6개의 방정식으로 3개의 변수(${\displaystyle {R1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {R2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {R3\mathrm{}}_{}}$ ${\$를 표현하기에 충분하지만, 다른 3개의 변수(${\displaystyle {Ra}_{}}$ ${\displaystyle {Rb}_{}}$ ${\displaystyle {Rc}_{}}$ ${\$ 여기서 이 방정식들이 실제로 위에서 설계된 식을 유도한다는 것을 보여주는 것은 간단합니다.

실제로 중첩 정리는 저항값 사이의 관계를 설정하고 고유 정리는 그러한 해의 고유성을 보장합니다.

네트워크 단순화

두 단자 사이의 저항성 네트워크는 이론적으로 단일 등가 저항으로 단순화될 수 있습니다(더 일반적으로 임피던스의 경우도 마찬가지입니다). 직렬 및 병렬 변환은 이를 수행하기 위한 기본 도구이지만 여기에 표시된 브리지와 같은 복잡한 네트워크의 경우에는 충분하지 않습니다.

Y-Y δ 변환을 사용하여 한 번에 하나의 노드를 제거하고 네트워크를 더욱 단순화할 수 있습니다.

노드를 추가하는 역변환 δ-Y는 단순화를 위한 길을 닦는 데도 유용합니다.

평면 그래프로 표현되는 모든 2단자 네트워크는 직렬, 병렬, Y-δ 및 δ-Y 변환의 시퀀스에 의해 단일 등가 저항으로 감소될 수 있습니다. 그러나 이러한 변환을 사용하여 단순화할 수 없는 비평면 네트워크가 있습니다. 예를 들어, 토러스를 둘러싼 정방형 격자나 Petersen 계열의 어떤 구성원도 있습니다.

그래프이론

그래프 이론에서 Y- δ 변환은 그래프의 Y 부분 그래프를 해당 δ 부분 그래프로 대체하는 것을 의미합니다. 변환은 그래프의 간선 수를 보존하지만 정점 수나 사이클 수는 보존하지 않습니다. 두 개의 그래프는 한 개의 그래프가 Y- δ 변환을 통해 다른 하나의 그래프에서 얻을 수 있다면 Y- δ 등가라고 합니다. 예를 들어, Petersen 패밀리는 Y- δ 동등성 클래스입니다.

데모

δ-하중 대 Y-하중 변환 방정식

$\{{\displaystyle Ra}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ $}$ {\$displaystyle \left\{R_{\text{a}}, R_{\text{b}},$ R_${\text{c}\right\},$${\displaystyle {}_{}}$δ에서 ${\displaystyle {}_{}}$R1$, R2$, $R3} {\displaystyle \left\{$R_{1}, R_{2}, R_{3$}\$right\}, ${\displaystyle Y_{}}$에서 ${\displaystyle {}_{}}$하는 두 노드 간의 임피던스를 비교합니다. 두 구성 중 하나의 임피던스는 노드 중 하나가 회로에서 분리된 것처럼 결정됩니다.

δ에서 N이 분리된 상태에서 N과 N 사이의 임피던스:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}\end{align}}}$

간단히 하기 위해, ${\displaystyle {RT}_{}}$ ${\$$T}}}$은$({\displaystyle }$는) {${\displaystyle {Ra}_{}}$ ${\displaystyle {Rb}_{}}$ ${\displaystyle {Rc}_{}}$ ${\$의 합입니다$.$

${\displaystyle R_{\text}T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$

따라서,

${\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}$

Y에서 N과₁ N 사이의₂ 대응 임피던스는 다음과 같습니다.

${\displaystyle R_{\text}Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}$

따라서:

$Ra$$T}}}}}$ ($$1)

$R{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ N ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ R$(N_{2}, N_{3})}$에 대해 반복$:$

$R$$T}}}}}($2)$$

$R{\displaystyle (N{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 경우$:$

$Ra$${R_{\text{$$T}}}}($3)$$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle R{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 값은 선형 조합(가산 및/또는 감산)에 의해 결정될$$ 수 있습니다.

예를 들어 (1)과 (3)을 더한 다음 (2) 수율을 뺀다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{align}}}$

완전성을 위해:

$cRT {\$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}}}}($4)$$

$CRT$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}}}}}($5)$$

$RT {\$$R_{\text{b}}}{R_{\text{$$T}}}}}($6)

Y-부하 대 δ 부하 변환 방정식

허락하다

${\display R_{\text{$$T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}$.

우리는 δ부터 Y까지의 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$cRT {\$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}}}}}$ ($$1)

$CRT$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}}}}}($2)$$

$RT$$R_{\text{b}}}{R_{\text{$$T}}}}($3)$$

방정식 쌍의 곱셈 결과

$RT$$R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{$$T}^{2}}}($4)

$CRT$$R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}^{2}}}($5)

$}$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}^{2}}}($6)

그리고 이 방정식들의 합은

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}$$R_{3}={\frac {R_{\text{a}}$$R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}$$R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}^{2}}}($7)

인자 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ c ${\$$R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}$ 오른쪽에서$$ ${\$$분자$에서 T$$$}},$ ${\displaystyle {RT}_{}}${\$display R_{\text}$로 취소$분모$에 T$}}$이(가) 있습니다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}$$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}$$R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}$$R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}$${R_{\text{$$T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}$$R_{\text{b}}$$R_{\text{c}}}{R_{\text{$$T}}}\end{align}}}($8)

(8)과 {(1), (2), (3)} 사이의 유사성에 주목합니다.

(8)을 (1)로 나누기

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {이것}_{}}$은$$Ra {\$display R_{\text{$a}}에$$대한 방정식입니다. (8)을 (2) 또는 (3)으로 나누면 (${\displaystyle {R2\mathrm{}}_{}}${\$display R_{2}$ 또는$$ ${\displaystyle {R3\mathrm{}}_{}}${\$display R_{3}$에 대한 식$)$ 나머지 방정식이 나옵니다.

실용발전기의 δ에서 Y로의 변환

균형 잡힌 3상 전력 시스템을 분석하는 동안, 일반적으로 그 단순성 때문에 대신 동등한 위상별(또는 단상) 회로가 분석됩니다. 이를 위해 발전기, 변압기, 부하 및 모터에 동등한 와이 연결이 사용됩니다. 다음 그림에 표시된 실제 델타 연결 3상 발전기의 고정자 권선은 다음 6가지 공식을^[a] 사용하여 동등한 와이 연결 발전기로 변환할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{align}}}$

결과 네트워크는 다음과 같습니다. 등가 네트워크의 중성 노드는 가상이며 라인 대 중성 위상 전압도 마찬가지입니다. 변환하는 동안 라인 페이저 전류 및 라인(또는 라인 대 라인 또는 위상 대 위상) 페이저 전압은 변경되지 않습니다.

실제 델타 발생기가 균형을 이루면 내부 위상 전압이 동일하고 서로 간에 120°씩 위상이 이동하며 3개의 복잡한 임피던스가 동일한 경우 이전 공식은 다음과 같은 4가지로 줄어듭니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}{\sqrt {3}}\,\각도 \pm 30^{\circ}}}\end{aligned}}}$

여기서 마지막 세 방정식의 경우, 위상 시퀀스가 양/abc이면 첫 번째 부호(+)가 사용되고 위상 시퀀스가 음/acb이면 두 번째 부호(-)가 사용됩니다.

참고 항목

• 별-메쉬 변환
• 네트워크 분석(전기회로)
• Y 및 δ 연결 예를 위한 전기 네트워크, 3상 전원, 다상 시스템
• Y-δ 시동 기술에 대한 논의를 위한 교류 모터

참고문헌

메모들

서지학

• William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3th Ed., McGraw Hill, 1975, ISBN 0-07-061285-4

외부 링크

• 별-삼각 변환: 저항성 네트워크와 저항성에 대한 지식
• 별-삼각 변환 계산기