약한 호프 대수

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2011년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

수학에서 약한 바이알게브라는 알헤브라와 합게브라 둘 다지만 두 구조물 사이의 호환성 조건이 "약화"된 바이알게브라의 일반화다.같은 정신에서 약한 홉프 알제브라는 특정 조건을 만족하는 선형 지도 S와 함께 약한 바이알제브라는 약하다; 그것들은 홉프 알제브라의 일반화다.

이 물체들은 Böm, Nill, Szlachányi에 의해 소개되었다.그것들을 연구하기 위한 첫 번째 동기는 양자장 이론과 연산자 알제브라스에서 나왔다.^[1]약한 홉프 알헤브라는 꽤 흥미로운 표현 이론을 가지고 있다; 특히 반이 구현된 유한한 홉프 대수학 모듈들은 퓨전 범주(여분의 성질을 가진 단일 범주)이다.어떤 퓨전 범주가 약한 호프 대수보다 모듈 범주에 해당한다는 것도 에팅오프, 닉시크, 오스트릭에 의해 증명되었다.^[2]

정의

필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 위에$$ 있는 약한 바이알게브라${\displaystyle (H}$ , ${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$ , Δ ,${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varipsilon )}$은 벡터 공간 $H{\displaystyle }$ ${\\displaystysty H}$이다.

• ${\displaystyle (H}$ ,${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \eta }$) ${\displaystyle (H,\mu ,\eta )}$은 곱셈 $\mu {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle H}$→ H $[\displaystyle \mu$:$H{\displaystyle }$$\otimes H\rightarrow H}$ 및$$ 단위${\displaystyle }$: k${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \eta :k\rightarrow H$
• ${\displaystyle (H}$ ,${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ,${\displaystyle \epsilon }$) ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$이(가) $복합복제{\displaystyle \mathrm{}\Delta }$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle H}$→ $\$ H {\$displaystyle$ \$Delta$:와 함께 공동 연관성 결합성 결합성 결합체를 형성한다$$.$H{\displaystyle }$$\rightarrow H\otimes H}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{상담}:}$ H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon$:$오른쪽 화살표 k$

다음과 같은 호환성 조건이 유지되는 경우:

1. 콤뮬레이션의 곱셈률:

   ${\displaystyle \Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )}$,

2. 협의회의 취약한 승수율:

   ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm$${id} _{H}=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ(\mu \mu )\circ(\$mu \circ)(\$mathrm {id} _{H}\otime \mathrmatrm {id}\$d}},$$$_{H}}),$

3. 유닛의 약한 조합성:

   ${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=($$\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm$ {$id} _{H}\circ(\Delta \otimes \eta$ $)\},$

여기서 ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ V${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle W_{}}$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \otimes }$ W${\displaystyle }$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mapsto }$ w { w { ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sigma _{V,W:$$V\time W\rightarrow W\time V:v\times W\mapsto w\time v}$이(가) 두 개의 텐서 인자를 뒤집는다$$.Moreover ${\displaystyle \mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}}$ is the opposite multiplication and ${\displaystyle \Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta }$ is the opposite comultiplication.Note that we also implicitly use Mac Lane's coherence theorem for the monoidal category of vector spaces, identifying ${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)}$ as well as ${\displaystyle V\otimes k\cong V\cong k\otimes V}$.

그 정의는 상당히 자기 설명이 가능한 것으로서, 약화된 것은 대수 구조와 합금 구조 사이의 호환성이라고 본다.

A weak Hopf algebra ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ is a weak bialgebra ${\displaystyle (H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ with a linear map ${\displaystyle S:$$H\to H}$은$($는) 대척점이라고 불리며, 다음과 같은 조건을 만족한다.

• ${\displaystyle \mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ ($$\Delta \otimes \mathrm {id} _{H}\circ(\eta \otimes \mathrm$ {$id} _{H})$,
• ${\displaystyle \mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ ($$\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circle(\mathrm {id} _{H}\otimes \eta$ $)\},$
• ${\displaystyle S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta }$.

예

1. 호프 대수학.물론 어떤 홉프 대수학도 약한 홉프 대수학이다.
2. 그룹오이드 대수학.$G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ G$=($${\displaystyle \mathrm{G\_}}$${0},G_$${$$1}}}$을(를) groupoid 대수, $즉{\displaystyle }$, $형태론{\displaystyle }$ g ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle$$K[G]}$을(를$$) $g_{$1}에 생성한다고 가정합시다$.$이것은 우리가 정의한다면 약한 호프 대수학이 된다.
   • ${\displaystyle \mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$
   • ${\displaystyle \eta :k\to K[G]~{\text{by}~\eta(1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}}}}$
   • ${\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}\Delta (g)=g\otimes g~{\text{ally}}~g_{{n1}}$
   • ${\displaystyle \varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}~\varepsilon (g)=1~{\text}=1~{\text{ally}~{g_{1}}}}$
   • $S$: ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$→ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \text{by}}$ $S$ (${\displaystyle }$g )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{모든}}$ ${\displaystyle G{}^{}\in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$

이 두 번째 예는 약한 홉프 대수학이지만 홉프 대수학은 아니라는 점에 유의한다.

표현 이론

H는 유한한 약한 Hopf 대수학을 준이 구현한 것이고, 그 다음 H 위의 모듈들은 정밀하게 많은 단순한 물체를 가진 견고한 단면체 범주를 형성한다.더욱이 동형체 공간은 유한차원 벡터 공간이며 단순한 물체의 내형체 공간은 일차원이다.마지막으로, 단면체 단위는 단순한 물체다.그러한 범주를 퓨전 범주라고 한다.

일부 단면체 범주는 Hopf 대수상의 모듈이 아님을 보여줄 수 있다.퓨전 범주(여분의 조건이 있는 단면체 범주일 뿐)의 경우, 어떤 퓨전 범주가 약한 홉프 대수보다 모듈 범주에 해당한다는 것이 에팅오프, 닉쉬, 오스트릭에 의해 증명되었다.

메모들

참조

• Böhm, Gabriella; Nill, Florian; Szlachányi, Kornel (1999). "Weak Hopf algebras. I. Integral theory and ${\displaystyle C^{*}}$-structure". Journal of Algebra. 221 (2): 385–438. doi:10.1006/jabr.1999.7984.

• Etingof, Pavel; Nikshych, Dimitri; Ostrik, Viktor (2005). "On fusion categories". Annals of Mathematics. Second Series. 162 (2): 581–642. arXiv:math/0203060. doi:10.4007/annals.2005.162.581.

• Karaali, Gizem (2008). "On Hopf algebras and their generalizations". Communications in Algebra. 36 (12): 4341–4367. arXiv:math/0703441. doi:10.1080/00927870802182424.