페어코인

공정한 동전은 던졌을 때 어느 한 쪽이 위로 착지할 수 있는 동등한 기회를 가져야 한다.

확률 이론과 통계학에서, 각각의 시도에서 1/2 확률로 성공하는 베르누이의 독립적인 시도들의 시퀀스는 은유적으로 공정한 동전이라고 불립니다.확률이 1/2가 아닌 것을 편향 또는 불공정 동전이라고 합니다.이론적인 연구에서, 동전이 공정하다는 가정은 종종 이상적인 동전을 언급함으로써 만들어진다.

존 에드먼드 케리히는 동전 던지기 실험을 했는데, 왕관 크기 정도의 나무 원반으로 만들어지고 한쪽 면에 납이 착지된 머리(나무가 위로 향함)로 코팅된 동전이 ^[1]1000번 중 679번이라는 것을 발견했습니다.이 실험에서 동전은 검지로 균형을 잡고 엄지손가락으로 뒤집어서 테이블 위에 펼쳐져 있는 평평한 천에 착지하기 전에 약 1피트 동안 공중에서 회전하도록 던져졌다.에드윈 톰슨 제인스는 동전을 손에 쥐었을 때,^[2] 동전을 튕기는 대신 던질 수 있는 물리적인 편향이 충분한 연습이 있으면 동전을 100퍼센트 앞면에 착지시킬 수 있는 토스 방식에 비해 미미하다고 주장했다.동전이 공정한지 확인하는 문제를 탐구하는 것은 통계학을 가르칠 때 확립된 교육학적 도구이다.

통계교육 및 이론에서의 역할

동전 던지기 게임의 확률적, 통계적 특성은 입문 및 고급 교과서 모두에서 예로 자주 사용되며, 주로 동전이 공정하거나 "이상적"이라고 가정하는 데 기초한다.예를 들어, Feller는 이 근거를 사용하여 랜덤 워크 개념을 도입하고 일련의 ^[3]관측치 내에서 동일한 값의 런의 속성을 조사함으로써 균질성 검정을 개발합니다.후자는 실행 테스트로 이어집니다.공정한 동전을 던져 얻은 결과로 이루어진 시계열을 베르누이 과정이라고 한다.

편향된 코인의 공정한 결과

만약 사기꾼이 동전을 바꿔서 한쪽을 다른 쪽(편향된 동전)보다 더 선호한다면, 그 코인은 게임을 약간만 바꿔도 공정한 결과를 위해 사용될 수 있다.John von Neumann은 다음과 같은 ^[4]절차를 제시했습니다.

동전을 두 번 던져라.
결과가 일치하면 두 결과를 모두 잊어버리고 다시 시작합니다.
결과가 다를 경우 두 번째 결과를 제외하고 첫 번째 결과를 사용합니다.

이 과정이 공정한 결과를 낳는 이유는 동전이 뒤집기 사이의 치우침을 바꾸지 않고 두 번의 뒤집기 사이에 독립적이기 때문에 앞면과 뒷면이 나올 확률은 뒷면이 나올 확률과 동일해야 하기 때문입니다.이는 한 번의 시행에서 하나의 결과를 얻는 것이 이후의 시행에 대한 편견을 바꾸지 않는 경우에만 효과가 있습니다. 이는 대부분의 가단 불가능한 동전의 경우입니다(폴랴 항아리 같은 과정에서는 해당되지 않습니다).이 절차를 반복함으로써 두 개의 앞면과 두 개의 뒷면의 이벤트를 제외함으로써 코인 플리퍼는 동등한 확률을 가진 두 개의 결과만 남는다.이 절차는 토스가 올바르게 페어링된 경우에만 작동합니다. 페어의 일부를 다른 페어로 재사용하면 공정성이 저하될 수 있습니다.또한, 동전은 한쪽이 0일 정도로 편중되어서는 안 된다.

이 방법은 4번의 토스 시퀀스를 고려함으로써 확장할 수 있다.즉, 동전을 두 번 던졌는데 결과가 일치하고, 다시 두 번 던졌는데 반대쪽 결과가 일치하면 첫 번째 결과를 사용할 수 있습니다.이는 HHTT와 TTHH의 가능성이 같기 때문입니다.이 값은 2의 임의의 거듭제곱까지 확장할 수 있습니다.

$E(F_{n})$ E ( $E(F_{n})$ n $E(F_{n})$ ) { $displaystyle$ E ( $F$ _ { $n$ ) 에서의 $E(F_{n})$ 예상 플립 값은 계산하기 어렵지 않습니다. 먼저 3단계에서 $H$ T( \ $displaystyle$ HT ) $E(F_{n}|HT,TH)=2$ $T$ H ( \ $displaystyle$ TH )이 $TH$ 발생하든 $E(F_{n}|HT,TH)=2$ E $E(F_{n}|HT,TH)=2$ ( $E(F_{n}|HT,TH)=2$ N $E(F_{n}|HT,TH)=2$ T $E(F_{n}|HT,TH)=2$ , $E(F_{n}|HT,TH)=2$ F F )2 ( \ $displaystyle$ 2 $)$ $E(F_{n}|HT,TH)=2$ $TH)=2}$ 단 $E(F_{n}|HT,TH)=2$ , 2단계( $T$ TT $)$ $또는$ HH $(Displaystyle$ HH $HH$ 에서는 2번의 플립에 다음 게임의 예상 플립 $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ 인 $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ E( $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ + $E($ N + $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ )의 플립 값을 더해야 합니다 $.$ $HH)=2+E(F_{n+1})}$ 그러나 $E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})$ 다음 게임의 기대치는 이전 게임이나 다른 게임의 값과 같기 때문에 실제로 $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ 에 의존하지 $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ E ( $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ $=$ E $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ + $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ ) $E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})$ { $style$ E ( $F_E$ ( $F)}$ $E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}$ $F_{n}:$ 다시 $E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}$ E $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ ( $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ ( $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ + $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ , $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ . , $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ 1) $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ ( $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ ) $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ （ $F$ n ）{ $style$ E ( $F$ _ { $n$ + 1) $F_{n$ , ... $X _$ {1} $= E$ ( $F$ _ { $n$ } )가 $E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})$ 됩니다.다만, 합계법칙상, $스타일$ E $(F_{n+1})=E(E(F_{n+1$ } $F_{n},...F_{1$ })= $E(F_{n$ 는 다음과 같습니다.

P(H)

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

(

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

) (

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

-

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

(

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

)

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

\

displaystyle

\

frac

{ 1

}

{

P

( H ) ( 1 - P ( H )

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

}}의

{\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}

그래프는 P

P(H)

) \

displaystyle

P (

H

)이 성공할

P(H)

때까지 예상되는 플립 횟수의

0

.5

(\

displaystyle

0.

5)

부터이다

0.5

.

${\displaystyle {begin{aligned}E(F)&=E(F_{n}TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}HT,TH)P(HHH,T)\={NF)P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT, HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F)(P(TT)+P(HH))+2(P(H)+P(TH)\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{4P(H)\T)$

$(\displaystyle \displaystyle E(F)=2+E(F)-2P(H)P(F)\rightarrow E(F)=sq frac {1}{P(H)P(T)}=sq frac {1}{P(H)(1-P)}}})$

우리의 동전이 더 편중될수록 공정한 결과를 얻기 위해 더 많은 시도를 해야 할 것이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Kerrich, John Edmund (1946). An experimental introduction to the theory of probability. E. Munksgaard.
^ Jaynes, E.T. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 318. ISBN 9780521592710. Archived from the original on 2002-02-05. anyone familiar with the law of conservation of angular momentum can, after some practice, cheat at the usual coin-toss game and call his shots with 100 per cent accuracy. You can obtain any frequency of heads you want; and the bias of the coin has no influence at all on the results!{{cite book}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
^ Feller, W (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0.
^ von Neumann, John (1951). "Various techniques used in connection with random digits". National Bureau of Standards Applied Math Series. 12: 36.

추가 정보

Gelman, Andrew; Deborah Nolan (2002). "Teacher's Corner: You Can Load a Die, But You Can't Bias a Coin". American Statistician. 56 (4): 308–311. doi:10.1198/000313002605. Andrew Gelman 웹사이트에서 이용 가능
"Lifelong debunker takes on arbiter of neutral choices: Magician-turned-mathematician uncovers bias in a flip of a coin". Stanford Report. 2004-06-07. Retrieved 2008-03-05.
존 폰 노이만(John von Neumann), "랜덤 디짓과 관련하여 사용되는 다양한 기술" (A.S.)Houseader, G.E. Forsythe 및 H. H. Germond, ed., Monte Carlo Method, National Bureau of Standards Applied Mathematic Series, 12(워싱턴 D.C.: U.S. Government Printing Office, 1951): 36-38.

[Kerrich-1] Kerrich, John Edmund (1946). An experimental introduction to the theory of probability. E. Munksgaard.

[Jaynes-2] Jaynes, E.T. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 318. ISBN 9780521592710. Archived from the original on 2002-02-05. anyone familiar with the law of conservation of angular momentum can, after some practice, cheat at the usual coin-toss game and call his shots with 100 per cent accuracy. You can obtain any frequency of heads you want; and the bias of the coin has no influence at all on the results!{{cite book}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).

[feller-3] Feller, W (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0.

[4] von Neumann, John (1951). "Various techniques used in connection with random digits". National Bureau of Standards Applied Math Series. 12: 36.

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