표준 특이점

수학에서 표준 특이점들은 투영적 다양성의 표준모델의 특이점으로 나타나고, 단자 특이점들은 최소모델의 특이점으로 나타나는 특수한 경우들이다.그것들은 리드(1980)에 의해 소개되었다.말단 특이점들은 최소 모델 프로그램에서 중요한데, 왜냐하면 부드러운 최소 모델이 항상 존재하는 것은 아니기 때문이다. 따라서 어떤 특이점, 즉 말단 특이점들을 허용해야 한다.

정의

표준 클래스 K가_Y Q-Cartier일 정도로 Y가 정상 품종이라고 가정하고, f:X→Y가 Y의 특이점들의 분해능이 되게 한다.그러면

\displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}}E_{i}

여기서 합계는 수정할 수 없는 예외적인 분수를 초과하며, a는_i 불일치라고 불리는 합리적인 수이다.

그 다음에 Y의 특이점을 다음과 같이 부른다.

모든 i에 대해_i 0보다 큰 경우 단자

모든 i에 대해 0인_i 표준적인 경우

모든_i i에 대해 > -1일 경우 로그 터미널

모든_i i에 대해 ≥ -1인 경우 표준 로그.

특성.

투사형 품종 V의 특이점은 품종이 정상이면 규범형이며, V의 비성형 부분의 규범형 선다발의 일부 동력은 V의 선다발로 확장되며, V는 그 특이점의 어떤 분해능과 동일한 플루리게네라를 가진다.V는 상대적인 표준 모델인 경우에만 표준 특이점을 가진다.

투사형 품종 V의 특이점은 품종이 정상이면 단자형이며, V의 비성형 부분의 표준선 번들의 일부 동력은 V의 선다발로 확장되며, V의 어떤 부분의^m 풀백은 특이점 해결의 예외적 위치인 코드션 1 구성요소를 따라 사라진다.

소차원 분류

2차원 단자 특이점은 부드럽다.어떤 품종이 단자 특이점을 갖는 경우, 그 단수점은 적어도 3개의 코디네이션이 있고, 특히 치수 1과 2에서는 모든 단자 특이점이 부드럽다.3차원으로 분리되어 모리(1985년)에 의해 분류되었다.

2차원 표준 특이점은 du Val 특이점과 동일하며, SL₂(C)의 유한 부분군에 의한 C의² 인수에 대한 분석적 이형성이다.

2차원 로그 단자 특이점은 GL₂(C)의 유한 부분군에 의한 C의² 인수에 대한 이형 분석적이다.

2차원 로그 표준 특이점은 카와마타(1988)에 의해 분류되었다.

쌍들

More generally one can define these concepts for a pair $(X,\Delta )$ where $\Delta$ is a formal linear combination of prime divisors with rational coefficients such that $K_{X}+\Delta$ is $\mathbb {Q}$ -Cartier.그 한 쌍은 불린다.

Discrep $(X,\Delta )>0$ ( $(X,\Delta )>0$ , $(X,\Delta )>0$ ) $(X,\Delta )>0$ > $(X,\Delta )>0$ $(X,\Delta )>0$ 인 경우 터미널
정식 if Discrep $(X,\Delta )\geq 0$ ( $(X,\Delta )\geq 0$ , $(X,\Delta )\geq 0$ ) $(X,\Delta )\geq 0$ $(X,\Delta )\geq 0$ ${\displaystyle (X,\Delta )\geq$ 0 $}$
klt (Kawamata 로그 터미널 $(X,\Delta )>-1$ 디스크rep ( $(X,\Delta )>-1$ , $(X,\Delta )>-1$ ) $(X,\Delta )>-1$ > - $(X,\Delta )>-1$ 1 ${\displaystyle (X,\Delta$ )-1} $(X,\Delta )>-1$ 및 $\lfloor \Delta \rfloor \leq 0$ $and$ Δ $\lfloor \Delta \rfloor \leq 0$ ${\displaysty \lfloor \Delta \rfloor \leq$ 0 $}$ 인 경우
디스크rep $(X,\Delta )>-1$ ( $(X,\Delta )>-1$ , $(X,\Delta )>-1$ ) $(X,\Delta )>-1$ > - $(X,\Delta )>-1$ $(X,\Delta )>-1$ 인 경우 plt (순수 로그 터미널)
lc (로그 표준) 만일 Discrep $(X,\Delta )\geq -1$ ( $(X,\Delta )\geq -1$ , $(X,\Delta )\geq -1$ )이 $(X,\Delta )\geq -1$ 이면 $(X,\Delta )\geq -1$ - 1 ${\displaystyle (X,\Delta )\geq -1}.$

참조

Kollár, János (1989), "Minimal models of algebraic threefolds: Mori's program", Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179, MR 1040578
Kawamata, Yujiro (1988), "Crepant blowing-up of 3-dimensional canonical singularities and its application to degenerations of surfaces", Ann. of Math., 2, 127 (1): 93–163, doi:10.2307/1971417, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971417, MR 0924674
Mori, Shigefumi (1985), "On 3-dimensional terminal singularities", Nagoya Mathematical Journal, 98: 43–66, doi:10.1017/s0027763000021358, ISSN 0027-7630, MR 0792770
Reid, Miles (1980), "Canonical 3-folds", Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979, Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, pp. 273–310, MR 0605348
Reid, Miles (1987), "Young person's guide to canonical singularities", Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 46, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 345–414, MR 0927963

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