선택에 관한 타르스키의 정리

수학에서 알프레드 타르스키(1924년)에 의해 증명된 타르스키의 정리는 ZF에서 "$모든{\displaystyle }$${\displaystyle }$ 무한 세트 A ${\displaystyle$ A$\}$에 $대해{\displaystyle }$, 세트 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$과 세트 A ${\displaystyle \times }$ A ${\displaystystyle A\times A$ 사이에 편재적 지도가 있다고 명시하고 있다.반대 방향은 이미 알려져 있었으므로 선택의 정리와 공리는 동등하다.

타르스키는 얀 마이켈스키(2006)에게 그가 파리의 아카데미에 데 컴페츠 렌두스 데 라카데미에의 정리를 발표하려 하자 프레셰와 레베그가 이를 발표하기를 거부했다고 말했다.프레셰는 잘 알려진 두 명제 사이의 암시는 새로운 결과가 아니라고 썼다.레베그는 두 거짓 명제 사이에 함축된 암시는 아무런 흥미가 없다고 썼다.

증명

목표는 "${\displaystyle 모든}$ 무한 ${\displaystyle 세트}$ A {\$displaystyle A$ : A${\displaystyle }$= A ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle A}$ $displaystyle A$= $A\times A}"$라는 문장으로 선택의 공리가 함축되어 있음을 입증하는 것이다.$$잘 정돈된 정리는 선택의 공리와 동등하다고 알려져 있으므로, 이 진술이 모든 세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 잘 정돈된 것이 존재한다는 것을 암시하는 것으로 충분하다.

유한 집합의 경우 이는 사소한 것이므로 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$이(가) 무한하다고$$ 가정한다.

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에서 서수까지 추체함수가 존재하는 모든 서수들의 집합은 집합이므로$,$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \beta }$까지 추체함수가 없는 최소한의 비제로 서수함수가 $존재$한다고 가정한다$.$일반적으로 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 분리된다.By the initial assumption, ${\displaystyle B\cup \beta = (B\cup \beta )\times (B\cup \beta ) }$, thus there exists a bijection ${\displaystyle f:$$B\cup \beta \to (B\cup \beta )\time (B\cup \beta$ $)\}$

For every ${\displaystyle x\in B}$, it is impossible that ${\displaystyle \beta \times \{x\}\subseteq f[B]}$, because otherwise we could define a surjective function from ${\displaystyle B}$ to ${\displaystyle \beta }$. Therefore, there exists at least one ordinal ${\displaystyle \gam$$ma \in \beta }$ such that ${\displaystyle f(\gamma )\in \beta \times \{x\}}$, so the set ${\displaystyle S_{x}=\{\gamma f(\gamma )\in \beta \times \{x\}\}}$ is not empty.

우리는 새로운 함수를 정의할 수 있다:${\displaystyle }g{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 최소}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ g$(x)=\min S_{x$ 이 함수는 ${\displaystyle S_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle S_{x}}$가 비어 있지 않은 서수 집합이므로 잘 정의되어 있으며, 따라서 최소값이 있다.${\displaystyle 매}$ $x{\displaystyle }$, y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ y ${\displaystyle x,y\in B,x\neq$ y$}$에 대해$$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ 세트는 분리된다$$.Therefore, we can define a well order on ${\displaystyle B}$, for every ${\displaystyle x,y\in B}$ we define ${\displaystyle x\leq y\iff g(x)\leq g(y)}$, since the image of ${\displaystyle g}$, i.e. ${\displaystyle g[B]}$, is a set of ordinals and therefore well ordered

참조

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Equivalents of the Axiom of Choice II, North Holland/Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "A system of axioms of set theory for the rationalists" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques theorems qui equivalent a l'axiome du choix", Fundamenta Mathematicae, 5: 147–154