슬레이터 통합

수학과 수학적 물리학에서 슬레이터 통합은 3개의 구형 고조파 생산물의 확실한 통합이다.그것들은 3차원의 회전 아래에서 특정한 방식으로 변형되는 단위 구체에 기능의 정형화된 기초를 적용할 때 자연적으로 발생한다.그러한 통합은 자연적인 구면 대칭을 갖는 원자의 특성을 계산할 때 특히 유용하다.이러한 통합은 수학적 특성 중 일부와 함께 아래에 정의된다.

공식화

원자 구조의 양자 이론과 관련하여, 존 C. 슬레이터는 3개의 구형 고조파 적분을 계수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$로 정의했다$.$^[1]이 계수들은 본질적으로 두 개의 위그너 3jm 기호의 산물이다.

${\displaystyle c^{k}(\ell,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Oomega \ Y_{\\ell }^{m}(\Oomega )^{*Y_{\ell '}{}}}(\Oomega )Y_{k}^{m-m'}(\오메가 )}$

이러한 통합은 하트리-하트리의 원자 계산을 수행할 때 유용하고 필요하다.쿨롱 오퍼레이터와 Exchange 오퍼레이터의 매트릭스 요소가 필요한 포크 버라이어티.명시적 공식의 경우 가운트의 공식을 연관된 범례 다항식에 사용할 수 있다.

두 개의 구형 고조파 산출물은 이러한 계수의 관점에서 기록될 수 있다는 점에 유의하십시오.동일한 주문으로 구형 고조파 기반에 걸쳐 이러한 제품을 확장함

${\displaystyle Y_{\ell}^{m}Y_{{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell '}{\hat {A}^{\ell'}(\ell,m,\ell ',m')Y_{\ell '}^{m+m'}}}$

그런 다음 $∗{\$ Y$^{*}}$을 곱하고$$ 결합 특성을 사용하여 위상 및 정규화에 주의해야 한다.

${\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}^{2}\오메가 = (-1)^{m+m'}{\hat{A}^{L}(\ell,m,\ell ',m')=(-1)^{m^{m^{L}(\ell,-m,\ell ',m'){L}(\ell ',m')}$

그러므로

${\displaystyle Y_{\ell}^{m}Y_{{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell '}-(1)^{m'}c^{\ell '}(\ell,-m,\ell ',m')Y_{\ell '}^{m+m'}}}$

이러한 계수는 수많은 정체성을 따른다.여기에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell,m,\ell,\m)&=(2\ell +1)\m_{k,0}\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\sum _{m=-\ell }^{{m=}^{k}(\ell,m,\ell ',m')^{2}={\sqrt{2\ell +1}{2\ell '+1}}\cdot c^{k}(\,0,\ell ',0')\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{정렬}}}$

참조