반고리 전위 우물

양자역학에서, 1차원 고리 안에 있는 입자의 경우는 상자 안에 있는 입자와 유사하다.파티클은 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 에서 $0$ 0 $(\displaystyle \pi)$ 까지의 $\pi$ 반원 경로를 따라 이동합니다. $\pi$ 서 벗어날 수 없는 것은 $\pi$ 【\ $displaystyle \pi】$ 에서 $\pi$ $【\displaystyle$ 2 $\pi】$ 까지의 $2\pi$ 전위가 무한하기 때문입니다.대신 전체 반사가 존재합니다. 즉, 입자가 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 에서 $0$ $\pi$ (\ $displaystyle \pi$ $0$ 에서 앞뒤로 튀는 것을 의미합니다.반원(기술적으로는 $\$ S $^{1$ 으로 제한된 자유입자의 슈뢰딩거 방정식은

- {\frac {\hbar ^{2}} {2m}}\sqla ^{2}\psi = E\psi

(1)

파동 함수

1차원 반원에 원통 좌표를 사용하면 파동 함수는 각도 좌표에만 의존하므로

\paramla ^{2}=paramfrac {1}{s^{2}}{\frac {\frac ^{2}}{\param\phi ^{2}

(2)

따라서 원통 좌표에서 라플라시안을 대체하면 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

- {\frac ^{2}} {\frac {d^{2}\psi } {d\phi ^{2}} = E\psi

(3)

원통 좌표로 가장 잘 표현되는 반원의 관성 모멘트는 ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ $=$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ e ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ V ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ( ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ , ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ) ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$ \ $textstyle I$ \ \ \ $stackrel$ \ $mathrm$ { $def$ } { =} \ $iint$ _ { $V ^$ { $2$ } \ $hor$ , $ph$ , , , , , , , , , , ph ) 。 $I=ms^{2}$ $I=ms^{2}$ $I=ms^{2}$ s $({$ I $=ms^{2$ 이며, 같은 반지름의 후프에 대해 정확히 동일합니다.이제 파형 함수는 - $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ 2 2 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ 2 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ d $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ 2 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ { $displaystyle -$ { \ $frac {$ \ $hbar$ ^ { $2$ } { 2 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi$ } { 2 } 로 표시할 수 있습니다. $I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi$ ^{ $2}}=E\psi$ 쉽게 해결할 수 있습니다.

입자가 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ ~ $\pi$ (\ $displaystyle \pi$ $0$ 을 벗어날 수 없으므로 이 미분 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같습니다.

{\displaystyle\psi(\phi)=A\cos(m\phi)+B\sin(m\phi)}

(4)

${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ m ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ I ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$ 2 \ $textstyle$ m = $defining rt$ \ $frac$ { 2 $IE}{\hbar$ ^{ $2$ E ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ (\ $textstyle$ E = $specfrac {m^{2}\hbar$ ^{ $2}}{2$ })로 ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ 를 계산할 수 있습니다. $I$ 다음으로 경계조건을 적용합니다. $\psi$ 서 {\ $\psi$ \ $displaystyle \psi }$ ${\frac {d\psi }{d\phi }}$ ${\$ { $displaystyle$ \ $flac$ { $d\psi$ } { $d$ \ $phi$ }}는 ${\frac {d\psi }{d\phi }}$ 연속적이며 파동 함수는 정규화 가능합니다.

\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left \psi (\phi)\right ^{2},d\phi = 1\.}

(5)

무한 제곱 웰과 마찬가지로 첫 번째 경계 조건에서는 $\phi =0$ $\phi =0$ { $displaystyle \phi$ = $0}$ 및 $\phi =0$ $\phi =\pi$ { $displaystyle \phi$ = \ $pi$ 에서 파동 함수가 0이어야 합니다. 기본적으로

\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi)=0.}

(6)

$\psi (0)=0$ $\cos(0)=1$ ( $\psi (0)=0$ ) $\psi (0)=0$ ( \ $displaystyle \psi$ ( $\cos(0)=1$ ) $\cos(0)=1$ $\psi (0)=0$ $\cos(0)=1$ ( \ $displaystyle \cos$ ( 0 ) = $1$ 이므로 계수 A는 0이어야 하며, $\phi =\pi$ 도 = $\phi =\pi$ {\ { $displaystyle \phi$ = \ $pi$ }에서 $\phi =\pi$ 0이므로 $\cos(0)=1$ 경계조건을 적용해야 합니다.B $\sin(n\pi )=0$ 0일 때 $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ $\sin(n\pi )=0$ ( $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ ) $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ sin $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ ( $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ ) ( m $display$ ) \ displaystyle \ $psi$ ( \ $pi$ ) = 0 $\sin(n\pi )=0$ $=$ $0$ \ $\$ sin $($ $m$ $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ \ $pi$ $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ ) $= 0$ 이므로 $\psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )$ m 이 에너지 경계를 정량화합니다. $E = flac {m^{2}\hbar ^{2}}{2$ $I}}}$ 여기서 ${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$ m은 임의의 정수입니다.조건 m=0은 모든 $\psi =0$ 에서 $\psi =0$ 0(\ $displaystyle \psi =0)$ 이므로 $\psi =0$ 제외됩니다. 즉, 입자가 전혀 전위에 있지 않음을 의미합니다.음의 정수는 정규화 조건에서도 쉽게 흡수될 수 있기 때문에 배제된다.

그런 다음 파동 함수를 정규화하여 B ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ (\ $textstyle$ B = $sqrt$ (\ $frac$ {2 $}{\pi$ 의 결과를 ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ 합니다.정규화된 파동 함수는

\psi(\phi)=sinrt {frac {2}{\pi }}\sin(m\phi)

(7)

시스템의 접지 상태 에너지는 E $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$ $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$ $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$ $E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}$ I {\ $displaystyle$ E= $fr frac$ { hbar ^ { $2}}$ { $2$ $I$ 상자 안의 입자처럼 계의 들뜬 $\psi (\phi )$ 에는 $($ ( \ $displaystyle$ \psi $\psi (\phi )$ ( \ $phi$ ) $\psi (\phi )$ )와 $\psi (\phi )^{2}$ {\ ( $\psi (\phi )^{2}$ ) $\psi (\phi )^{2}$ 2 ( \ $displaystyle \psi$ ( \ $phi$ )^ $2}}$ 가 $\psi (\phi )^{2}$ 모두 0인 노드가 존재하며, 이는 이들 노드에서 입자를 찾을 확률이 0임을 의미한다.

분석.

파동 함수는 $(\displaystyle \phi$ 에만 의존하므로 시스템의 측정 가능한 수량은 각 위치와 각운동량이며 각각 $\phi$ {\(\ $displaystyle \phi)$ 와 $\phi$ $L_{z}$ z(\ $displaystyle L_{z})$ 로 $L_{z}$ 표현됩니다.

원통좌표를 사용하여 $\phi$ {\(\ $displaystyle \phi)$ 와 $\phi$ $(\$ 는 $L_{z}$ $\phi$ ${\(\displaystyle \phi)$ 와 $\phi$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$ $(\$ 로 ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$ 표현되며, 이들 관측자는 상자 내 모멘텀 및 입자 위치와 유사한 역할을 한다.각도 위치 및 각운동량에 대한 정류 및 불확도 관계는 다음과 같습니다.

\displaystyle [\phi, L_{z}=i\hbar \psi(\phi)}

(8)

(\displaystyle(\Delta\phi)(\Delta L_{z})\geq(\frac {hbar}{2})

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

서

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

2 -

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

2

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

2

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

2

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

（ \

displaystyle

\

Delta

_ { \

psi

} \

phi

=

rt

{ \

phi

} { { \

rangle _

{ \

psi

} -

rangle

_ { \ psi } }

\Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}

=

\Delta _{\psi }L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}

rt { \ phi } - rt { \ phi } } } } {\ rangle } } } } } where where where where where where where where where where where where where where where where where =

i }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}

(9)

경계 조건

모든 양자역학 문제와 마찬가지로 경계조건이 바뀌면 파동도 변화합니다.파티클이 0 ~ $2\pi$ 의 링 전체의 움직임 $(\displaystyle$ 2 $\pi$ 에 한정되어 있는 경우 파티클은 주기적인 경계 조건만 따릅니다(링 내 파티클 참조).입자가 -2 $($ 스타일 - ${\frac {\pi$ } { $2}}$ ~ 2 $($ 스타일 ${\frac {pi$ } { $2$ 의 움직임에 국한되면 짝수와 홀수 패리티의 문제가 중요해진다.

이러한 전위에 대한 파동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

\psi _{\rm {o}}(\phi)=cosrt {frac {2}{\pi }}\cos(m\phi)

(10)

\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi)=\frac {2}{\pi }}\sin(m\phi)}

(11)

여기서 $\psi _{\rm {o}}(\phi )$ ( $\psi _{\rm {o}}(\phi )$ $ϕ$ ) $\psi _{\rm {o}}(\phi )$ { $displaystyle \psi$ _ { \ $rm {o}$ ( $phi )$ $\psi _{\rm {e}}(\phi )$ ( ( $\psi _{\rm {e}}(\phi )$ （ ( {\ $）$ ( e ( \ $displaystyle \psi$ _ { \ $rm$ { $e }$ )는 $\psi _{\rm {e}}(\phi )$ 각각 홀수 및 짝수 m을 나타냅니다.

마찬가지로 반고리형 퍼텐셜 웰이 유한한 웰인 경우, 각 $\phi$ ${\$ ${\displaystyle$ \ $phi$ $L_{z}$ $}$ $L_{z}$ L z {\ $displaystyle$ L_ ${z$ }가 선형 연산자 x와 p를 대체하는 유한 퍼텐셜 웰의 솔루션과 유사합니다.

「」를 참조해 주세요.

이 양자역학 관련 기사는 스텁이다.위키피디아를 확장함으로써 위키피디아를 도울 수 있습니다.

Search

반고리 전위 우물

네임스페이스

더

목차

파동 함수

분석.

경계 조건

「」를 참조해 주세요.

Search

반고리 전위 우물

파동 함수

분석.

경계 조건

「 」를 참조해 주세요.

「」를 참조해 주세요.