로스-리틀우드의 역설
Ross–Littlewood paradox |
로스-리틀우드 패러독스(공과 꽃병 문제 또는 탁구공 문제라고도 한다)는 추상 수학 및 논리의 가상적인 문제로서, 적어도 무한대의 역설적, 혹은 비직관적인 성질을 설명하기 위해 고안된 것이다.구체적으로는 톰슨의 램프 역설처럼 로스-리틀우드의 역설은 무한한 수의 과제가 순차적으로 완성되는 슈퍼태스크의 개념으로 개념적 어려움을 설명하려 한다.[1]이 문제는 수학자 존 E. 리틀우드가 1953년 펴낸 책 '미스셀라니'에서 처음 설명한 것이고, 이후 쉘든 로스가 1988년 펴낸 책 '확률의 첫 코스'에서 확대 해석한 것이다.
문제는 빈 꽃병과 무한히 많은 공 공급에서 시작된다.그런 다음 각 단계에서 10개의 공이 꽃병에 추가되고 1개의 공이 꽃병에서 제거되도록 무한정 많은 단계를 수행한다.그런 다음 다음과 같은 질문을 제기한다.일이 끝났을 때 꽃병에 공이 몇 개 있니?
무한한 수의 단계를 완성하기 위해 정오 1분 전에 화병이 비어 있고, 다음과 같은 단계를 수행하는 것으로 가정한다.
- 첫 번째 단계는 정오 30초 전에 행해진다.
- 두 번째 단계는 정오 15초 전에 수행된다.
- 각 후속 단계는 이전 단계의 절반의 시간에 수행된다. 즉, n단계는 정오−n 전에 2분 전에 수행된다.
이것은 정오까지 헤아릴 수 없이 무한한 수의 스텝이 수행된다는 것을 보장한다.이후의 각 단계는 이전 단계의 절반의 시간이 걸리기 때문에 1분이 경과한 시간까지 무한정 많은 단계가 수행된다.그 때 문제는 다음과 같다.정오에 꽃병에 몇 개의 공이 있니?
해결 방법
퍼즐에 대한 답은 몇 가지 범주로 나뉜다.
꽃병은 무한히 많은 공을 가지고 있다.
가장 직관적인 대답은 꽃병이 정오까지 무한히 많은 공을 가지고 있다는 것으로 보인다. 왜냐하면 모든 단계에서 제거되는 것보다 더 많은 공이 추가되기 때문이다.정의상 각 단계마다 이전 단계보다 볼 수가 더 많을 것이다.사실 이전 단계보다 볼 수가 줄어든 단계는 없다.매번 공의 수가 증가한다면, 무한한 스텝 후에 공의 수는 무한할 것이다.
꽃병이 비어 있다.
무한히 공급되는 공에 번호가 매겨져 있고, 1단계에서 공 1부터 10까지를 꽃병에 꽂고, 1번 공은 제거된다고 가정해 보자.2단계에서는 볼 11~20을 삽입하고, 그 다음 볼 2를 제거한다.이것은 정오까지 꽃병에 꽂혀 있는 n이라는 라벨이 붙어 있는 모든 공은 결국 후속 단계(이름대로 n단계)에서 제거된다는 것을 의미한다.따라서, 그 꽃병은 정오에 비어있다.이것은 수학자 앨리스와 코에시에르가 선호하는 해법이다.이 문제가 로스-리틀우드의 역설로 명명될 수 있도록 한 것은 꽃병이 정오에 비어 있다는 것과, 꽃병이 무한히 많은 공을 가져야 한다는 보다 직관적인 대답과 함께 이 화병이 비어 있다는 것이 이 주장의 대칭이다.
로스의 확률론적 문제 버전은 공을 빼낼 때마다 그 공이 그 당시 꽃병에 있는 사람들 중에서 균일하게 무작위로 선택되는 경우까지 제거 방법을 확장시켰다.그는 이 경우 정오에 어떤 특정한 공이 꽃병에 남아 있을 확률은 0이며 따라서 볼의 불평등을 이용하고 공 위에 셀 수 있는 금액을 취함으로써 정오에 꽃병이 비어 있을 확률은 1이라는 것을 보여주었다.[2]
조건에 따라 다름
실제로 공의 수는 꽃병에서 공이 제거되는 순서에 따라 달라진다.앞에서 말한 대로 정오에 꽃병에 공이 남지 않도록 공들을 넣고 제거할 수 있다.그러나 1단계에서 10번 공을, 2단계에서 20번 공을 꽃병에서 떼었다면 정오에 꽃병 속에 무한히 많은 공이 남아 있을 것이 분명하다.실제로 다양한 단계에서 어떤 공을 제거하느냐에 따라 아래 절차에서 알 수 있듯이 정오까지는 어떤 공이라도 화병에 넣을 수 있다.철학자 톰 티모츠코(Tom Tymoczko)와 수학자 짐 헨(Jim Henle)이 선호하는 해법이다.이 해법은 수학적으로 일련의 집합의 한계에 대응한다.
다음 절차는 꽃병에 남아 있는 선택된 n개의 공의 수를 얻는 방법을 정확히 설명한다.
n은 꽃병에 있는 원하는 최종 공의 수(n ≥ 0)를 나타내도록 한다.
현재 진행 중인 작업 번호(i 1 1)를 표시한다.
절차:
- i = 1 ~ 무한대의 경우:
- 꽃병에 (10*i - 9)에서 (10*i)까지 번호가 매겨진 공을 넣는다.
- 만약 내가 n번이라면, 2*i를 제거해라.
- i > n이면 볼 번호 n + i를 제거한다.
분명히 첫 번째 n개의 홀수 볼은 제거되지 않는 반면, 2n보다 크거나 같은 모든 볼은 제거된다.따라서 정확히 n개의 공이 꽃병에 남아 있다.
문제가 지나치게 구체화됨
공과 화병의 상태는 정오 이전 매 순간마다 잘 정립되어 있지만, 정오 전후의 어떤 순간도 결론을 내릴 수 없다.그러므로 우리가 아는 모든 것은, 정오에 꽃병이 마법처럼 사라지거나, 아니면 다른 일이 일어나게 되는 것이다.그러나 우리는 이 문제에 대해 아무런 언급도 하지 않고 있기 때문에 모른다.따라서, 이전 해법과 마찬가지로, 이 해법은 문제가 과소평가되어 있지만 이전 해법과는 다른 방식으로 설명된다.이 해결책은 수학철학자 폴 베나레이프라프가 선호한다.
문제의 형식이 잘못됨
그 문제는 논점이 나쁘다.정확히 말하면 문제성명에 따르면 정오 이전에 무한정 작전을 수행한 뒤 정오에 정세를 묻는다.그러나 제노의 역설에서와 같이 무한히 많은 작전이 정오 전에(순차적으로) 일어나야 한다면, 정오는 결코 도달할 수 없는 시간의 한 지점이다.반면 정오에 몇 개의 공이 남아있을지 묻는 것은 정오에 이를 것으로 가정하는 것이다.따라서 문제의 바로 그 진술에는 모순이 내포되어 있으며, 이 모순은 무한히 많은 단계를 어떻게든 '완성'할 수 있다는 가정이다.이것은 수학자이자 철학자 장 폴 반 벤데젬이 선호하는 해결책이다.
참고 항목
참조
추가 읽기
- "리틀우드의 미스셀라니"(ed.벨라 볼로바스), 1986년 케임브리지 주 캠브리지 대학 출판부. 페이지 26. (처음 "수학자의 미셀라니" (ed)로 출판되었다.베라 볼로바스, 메투엔 & 주식회사, 1953)
- "Tasks, Super-Tasks 및 Modern Eleathics", Paul Benacerraf, LIX, 1962, 페이지 765–784
- "A First Course in Probability", Sheldon Ross, New York: Macmillan, 1976년
- "Infinite의 일부 역설", 빅터 앨리스와 테우니스 코에시에르, 영국 과학철학 저널 v.42 n.2, 1991년 6월, 페이지 187–194
- "로스' 패러독스는 불가능한 슈퍼태스크" 장 폴 반 벤데젬, 영국 과학철학 저널 v.45 n.2, 1994년 6월 페이지 743–748
- "무한도전:S.에서 Earman, J. and Norton, J.D.의 "The Trouble with Supertasks".스티치 (ed.) 폴 베나케라프:철학자와 그의 비평가들 (뉴욕: 블랙웰), 1994년
- "단순한 이유: 현대 논리의 현장 가이드", 톰 티모츠코와 짐 헨레 프리먼 프레스, 1995년
