순수 수학

Pure mathematics
순수 수학은 E8 그룹과 같은 추상적인 물체의 [1]특성과 구조를 군 이론에서 연구합니다.이는 물리적 세계에서의 개념의 구체적인 적용에 초점을 맞추지 않고 수행될 수 있습니다.

순수 수학은 수학 이외의 응용 분야와는 독립적으로 수학적 개념을 연구하는 학문이다.이러한 개념은 현실 세계의 관심사에서 비롯될 수 있고, 얻어진 결과는 나중에 실제 응용에 유용한 것으로 판명될 수 있지만, 순수 수학자들은 주로 그러한 응용에 의해 동기 부여되지 않는다.대신, 이 매력은 기본 원칙의 논리적 결과를 도출하는 지적 도전과 미적 아름다움에 기인한다.

반면 순수한 수학 활동으로서 적어도 고대 그리스는 이래로 존재해 왔다, 이 취지를 1900,[2]에 이론의 직관에 반대되는 속성(비유클리드 기하 형상과 무한 집합의 칸토어의 이론 같은)과 도입, 그리고 지속적인 기능 등 명백한 역설(의 발견 후인음 있었다. 를t는 전혀 구별되지 않으며, 러셀의 역설도 마찬가지입니다.)이것은 수학적 엄격성의 개념을 새롭게 하고 그에 따라 공리적인 방법을 체계적으로 사용하여 모든 수학을 다시 쓸 필요성을 가져왔다.이것은 많은 수학자들이 수학 그 자체, 즉 순수 수학에 집중하도록 이끌었다.

그럼에도 불구하고, 거의 모든 수학 이론들은 현실 세계에서 오는 문제나 덜 추상적인 수학 이론에서 나온 문제들로 인해 동기 부여를 받았다.또한, 완전히 순수한 수학으로 보였던 많은 수학 이론들이 결국 물리학과 컴퓨터 과학 등 응용 분야에 사용되었다.유명한 초기 사례는 아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙이 행성들이 원추형 단면, 즉 아폴로니우스에 의해 연구된 기하학적 곡선을 따라 움직인다는 것을 암시했다는 이다.또 다른 예로는 인터넷 [3]통신을 보호하기 위해 널리 사용되는 RSA 암호 시스템의 기반인 정수를 인수화하는 문제가 있습니다.

따라서 현재 순수 수학과 응용 수학의 구별은 수학의 엄격한 세분화라기보다는 철학적 관점 또는 수학자의 선호에 가깝습니다.특히 응용수학과의 일부 구성원들이 자신들을 순수 [citation needed]수학자라고 말하는 것은 드문 일이 아니다.

역사

고대 그리스

고대 그리스 수학자들은 순수 수학과 응용 수학을 구별한 최초의 사람들 중 하나였다.플라톤은 현재 숫자 이론이라고 불리는 "산술"과 현재 산술이라고 불리는 "논리학적" 사이의 차이를 만드는 데 도움을 주었다.플라톤은 로지스틱(산수)을 "수의 기술을 배워야 하며 그렇지 않으면 군대를 배치하는 방법을 알지 못할 것"과 "수치론"을 "변화의 바다에서 일어나 진정한 존재를 [4]붙잡아야 하기 때문에" 철학자들에게 적절하다고 생각했다.알렉산드리아의 유클리드는 그의 제자 중 한 명으로부터 기하학 연구가 무슨 소용이 있느냐는 질문을 받았을 때, 그의 노예에게 "그가 배우는 [5]것을 얻어야 하기 때문에" 학생에게 3펜스를 달라고 부탁했다.그리스 수학자 페르가의 아폴로니우스코닉스의 제4권에서 그의 이론의 유용성에 대해 질문을 받았고, 그는 자랑스럽게 이렇게 주장했다.[6]

수학의 다른 많은 것들을 우리가 다른 이유 없이 받아들이는 것과 마찬가지로, 그들은 시연 자체를 위해 받아들여질 가치가 있다.

그리고 그의 결과 중 많은 것들이 그의 시대의 과학이나 공학에 적용되지 않았기 때문에, 아폴로니우스는 코닉스 제5권의 서문에서 이 주제는 "그들 자신을 위해 [6]연구할 가치가 있는 것으로 보인다"고 더욱 주장했다.

19세기

이 용어 자체는 19세기 중반에 설립된 사들레리아 순수 수학 교수(Sadleirian Pure Mathematics) 의장의 정식 직함인 "사들레리아 순수 수학 교수"에 수록되어 있다.순수 수학의 별도 학문이 그 당시에 생겨났을지도 모른다.가우스의 세대는 순수한 과 응용적인 을 구별하지 않았다.이후 몇 년 동안 전문화와 전문화(특히 수학 분석에 대한 바이얼스트라스 접근법)는 균열을 더욱 뚜렷하게 하기 시작했다.

20세기

20세기 초에 수학자들은 데이비드 힐버트의 예에 강한 영향을 받아 자명한 방법을 채택했다.버트런드 러셀이 제안명제수량화 구조라는 관점에서 순수 수학의 논리적 공식은 수학의 많은 부분이 공리화되어 엄밀한 증명의 단순한 기준의 대상이 되면서 점점 더 그럴듯해 보였다.

부르바키 그룹의 견해에 따르면 순수 수학이 증명된 것이다."순수한 수학자"는 훈련을 통해 성취할 수 있는 인정받는 천직이 되었다.

순수 수학이 공학 [7]교육에 유용하다는 사례가 나왔다.

고등 수학의 연구만이 줄 수 있는 일반적인 공학 문제에 대한 사고 습관, 관점, 지적 이해에 대한 훈련이 있다.

일반성과 추상화

순수 수학의 유명한 결과인 바나흐-타르스키 역설의 삽화.비록 절단 및 회전만을 사용하여 하나의 구를 두 개로 변환하는 것이 가능하다는 것이 입증되었지만, 변환에는 물리적 세계에서는 존재할 수 없는 물체가 포함됩니다.

순수 수학의 한 가지 중심 개념은 일반성의 개념이다. 순수 수학은 종종 일반성의 증가 추세를 보인다.범용성의 사용방법 및 장점은 다음과 같습니다.

  • 정리나 수학적 구조를 일반화하면 원래의 정리나 구조를 더 깊이 이해할 수 있다.
  • 일반성은 재료의 제시를 단순화할 수 있으며, 그 결과 따라하기 쉬운 짧은 증명이나 주장을 만들 수 있습니다.
  • 개별 사례를 개별적으로 증명하거나 수학의 다른 영역 결과를 사용하는 대신 일반성을 사용하여 중복 노력을 피할 수 있습니다.
  • 일반성은 수학의 다른 분야 간의 연결을 촉진할 수 있다.범주 이론은 수학의 일부 영역에서 나타나는 구조의 공통성을 탐구하는 데 전념하는 수학의 한 분야입니다.

직관력에 대한 일반성의 영향은 주제와 개인의 선호도 또는 학습 스타일에 따라 달라집니다.일반성은 직관에 방해가 되는 것으로 보여지지만, 특히 이미 좋은 직관을 가진 물질에 대한 유사성을 제공할 때 분명히 보조로서 기능할 수 있다.

일반성의 대표적인 예로서, 에를랑겐 프로그램은 기하학을 변환 그룹과 함께 공간의 연구로 간주함으로써 비유클리드 기하학뿐만 아니라 위상 분야와 다른 형태의 기하학을 수용하기 위한 기하학의 확장을 포함했습니다.초기 학부 수준에서 대수학이라고 불리는 숫자에 대한 연구는 더 발전된 수준에서 추상 대수학으로 확장되고, 대학 신입생 수준에서 미적분학이라고 불리는 함수에 대한 연구는 더 발전된 수준에서 수학 분석과 함수 분석이 됩니다.보다 추상적인 수학의 각 부문은 많은 하위 전공을 가지고 있으며, 사실 순수 수학과 응용 수학 분야 사이에는 많은 연관성이 있다.20세기 중반에는 추상화의 급격한 발전이 보였다.

그러나 실제로 이러한 발전은 특히 1950년부터 1983년까지 물리학과의 큰 차이를 가져왔다.나중에 블라디미르 아놀드에 의해 힐베르트가 너무 많고 푸앵카레가 충분하지 않다는 비판을 받았다.이 점은 아직 결정되지 않은 것 같습니다. 끈이론에서는 한쪽으로 쏠리는 반면 이산 수학은 중심으로서 증거를 향해 물러납니다.

순수 수학 대 응용 수학

수학자들은 순수 수학과 응용 수학의 구분에 대해 항상 다른 의견을 가지고 있었다.이 논쟁의 가장 유명한 현대 사례 중 하나는 G.H. 하디의 1940년 에세이 수학자의 사과에서 찾을 수 있다.이 사례에서 "사과"라는 단어는 플라톤의 사과에서와 같이 "방어" 또는 "해명"의 오래된 정의를 참조한다.

하디가 응용 수학을 추하고 따분하다고 여겼다는 것은 널리 알려져 있다.비록 하디가 종종 그림과 비교되는 순수 수학을 선호했던 것이 사실이지만, 하디는 순수 수학과 응용 수학의 구별은 단순히 응용 수학이 물리적 진실을 수학 틀에서 표현하려고 하는 반면, 순수 수학은 물리적 진실과 무관한 진실을 표현했다.세계. 하디는 수학에서 영구적인 미적 가치를 지닌 "실제" 수학과 실용성을 지닌 "수학의 따분하고 초보적인 부분"을 구별했다.

하디는 아인슈타인과 디락같은 물리학자들도 "실제" 수학자 중 하나라고 여겼지만, 그가 사과문을 쓰고 있을 당시, 그는 일반 상대성 이론과 양자 역학을 "무익한" 것으로 여겼으며, 이것은 그에게 오직 "dull" 수학만이 유용하다는 의견을 가질 수 있게 해주었다.게다가, 하디는 물리학에 행렬 이론과 군 이론의 적용이 예기치 않게 찾아왔듯이, 어떤 종류의 아름답고 "실제" 수학도 유용하게 쓰일 수 있는 시대가 올지도 모른다고 간단히 인정했습니다.

또 다른 통찰력 있는 견해는 미국 수학자 앤디 마지드가 제시했습니다.

난 항상 여기 좋은 모델이 반지 이론에서 도출될 수 있다고 생각해왔어.그 주제에서는 교환환 이론과 비교환환 이론의 하위 영역이 있다.정보가 없는 관찰자는 이것들이 이분법을 나타낸다고 생각할 수 있지만, 사실 후자는 전자를 상정하고 있다: 비교환환이란 불필요하게 교환환이다.만약 우리가 유사한 관례를 사용한다면, 우리는 응용 수학과 응용되지 않은 수학을 언급할 수 있다. 그리고 후자는 불필요하게 응용되지 않은 수학을 의미한다.[추가][8]

프리드리히 엥겔스는 1878년 저서 '반뒤링'에서 "순수한 수학에서 정신은 자신의 창조물과 상상력만을 다루는 것은 전혀 사실이 아니다.숫자와 숫자에 대한 개념은 [9]: 36 현실의 세계 이외에서 발명된 것이 아니다.그는 또한 "원기둥의 형태에 대해 한쪽 변을 중심으로 한 직사각형의 회전으로부터 추론하는 아이디어를 떠올리기 전에, 형태가 불완전하더라도 많은 실제 직사각형과 원기둥을 조사했어야 했다"고 주장했다.다른 모든 과학처럼 수학은 인간의 욕구에서 비롯되었다.그러나 모든 사고부문이 그렇듯이, 발전의 어느 단계에서 현실세계에서 추상화된 법률은 현실세계와 분리되고, 세계가 [9]: 37 따라야 할 법률처럼 독립적인 것으로서 확립됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ "Pure Mathematics". University of Liverpool. Retrieved 2022-03-24.
  2. ^ Piaggio, H. T. H., "Sadleirian Professors", in O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  3. ^ Robinson, Sara (June 2003). "Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders" (PDF). SIAM News. 36 (5).
  4. ^ Boyer, Carl B. (1991). "The age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 86. ISBN 0-471-54397-7.
  5. ^ Boyer, Carl B. (1991). "Euclid of Alexandria". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 101. ISBN 0-471-54397-7.
  6. ^ a b Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 152. ISBN 0-471-54397-7.
  7. ^ A. S. 해서웨이(1901) "공학과 학생을 위한 순수 수학", 미국 수학회 회보 7(6):266-71.
  8. ^ Andy Magid (2005년 11월)편집자로부터의 편지, 미국 수학회 공지사항, 1173페이지
  9. ^ a b Engels, Frederick (1987). Marx Engels Collected Works (Volume 25) (English ed.). Moscow: Progress Publishers. p. 33-133. ISBN 0-7178-0525-5.

외부 링크