자유도(메트릭)

물리학에서, 기계 시스템의 자유도(DOF)는 그 구성이나 상태를 정의하는 독립적인 매개 변수의 수입니다.이것은 기계 공학, 구조 공학, 항공 우주 공학, 로봇 공학 및 기타 분야의 신체 시스템 분석에서 중요합니다.

트랙을 따라 이동하는 단일 철도 차량(엔진)의 위치는 트랙을 따라 거리에 의해 정의되기 때문에 1개의 자유도를 가집니다.엔진과 힌지로 연결된 일련의 경질 차량은 여전히 자유도가 1도에 불과합니다. 왜냐하면 엔진 뒤쪽 차량의 위치는 트랙의 형상에 의해 구속되기 때문입니다.

매우 단단한 서스펜션이 있는 자동차는 평면(평탄한 2차원 공간)을 주행하는 강체로 간주할 수 있다.이 본체는 2개의 번역 요소와 1개의 회전 각도로 구성된 3개의 독립된 자유도를 가지고 있습니다.미끄러지거나 표류하는 것은 자동차의 세 가지 독립적인 자유도의 좋은 예이다.

공간에서의 강체의 위치와 방향은 번역의 세 가지 요소와 회전의 세 가지 요소로 정의되며, 이는 6개의 자유도를 갖는다는 것을 의미합니다.

정확한 제약 기계 설계 방법은 장치를 ^[1]과소 구속하거나 과도하게 구속하지 않는 자유도를 관리합니다.

움직임 및 치수

n차원 강체의 위치는 [T] = [A, d]라는 강성 변환에 의해 정의됩니다. 여기서 d는 n차원 변환이고 A는 n × n 회전 행렬이며, n의 변환 자유도와 n(n - 1)/2 회전 자유도를 가집니다.회전 자유도는 회전 그룹 SO(n)의 치수에 따라 결정됩니다.

비강성 또는 변형 가능한 물체는 많은 미립자 집합(무한 수의 DOF)으로 간주될 수 있으며, 이는 종종 유한 DOF 시스템에 의해 근사된다.큰 변위를 수반하는 움직임이 주된 연구 목적(예: 위성 움직임 분석)인 경우, 분석을 단순화하기 위해 변형 가능한 물체를 강체(또는 입자)로 근사할 수 있다.

시스템의 자유도는 구성을 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 볼 수 있습니다.이 정의를 적용하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

1. 평면 내의 단일 입자에 대해 두 개의 좌표가 위치를 정의하여 두 개의 자유도를 갖는다.
2. 공간에 있는 하나의 입자는 3개의 좌표를 필요로 하기 때문에 3개의 자유도를 갖는다.
3. 우주의 두 입자는 6개의 자유도를 가지고 있다.
4. 만약 공간의 두 입자가 서로 일정한 거리를 유지하도록 구속된다면, 예를 들어 2원자 분자의 경우, 6개의 좌표는 거리 공식에 의해 정의된 단일 구속 방정식을 만족해야 한다.이렇게 하면 나머지 5개가 지정되면 거리 공식을 사용하여 나머지 좌표를 해결할 수 있기 때문에 시스템의 자유도가 5로 감소합니다.

강체

1개의 강체는 3개의 변환 3T와 3개의 회전 3R로 구성된 최대 6개의 자유도(6DOF) 3T3R을 가집니다.

오일러 각도를 참조하십시오.

예를 들어, 바다에서 배의 움직임은 강체의 6자유도를 가지며,^[2] 다음과 같이 설명된다.

번역 및 회전:

1. 걷기(또는 파도):전진 및 후진
2. 스트래핑(또는 흔들림):좌우 이동
3. 상승(또는 상승):위아래로 움직인다.
4. 롤 회전: 좌우로 회전;
5. 피치 회전:앞뒤로 기울어짐;
6. 요 회전:좌우로 회전합니다.

예를 들어 비행 중인 비행기의 궤적은 3개의 자유도를 가지며 궤적을 따라 비행하는 비행기의 자세는 3개의 자유도를 가지며 총 6개의 자유도를 가진다.

• 비행 중 롤링 및 선박 역학에 대해서는 각각 롤링(항공) 및 롤링(선박 움직임)을 참조하십시오.
  • 중요한 파생상품은 롤 레이트(또는 롤 속도)로, 이는 항공기가 롤 자세를 변경할 수 있는 각 속도이며 일반적으로 초당 도수로 표현된다.
• 비행 중 피칭과 선박 역학에 대해서는 각각 피치(항공)와 피치(선박 움직임)를 참조하십시오.
• 비행 중 요잉 및 선박 역학에 대해서는 각각 요(항행) 및 요(선박 움직임)를 참조하십시오.
  • 한 가지 중요한 파생 요소는 요 레이트 센서로 측정한 요 회전의 각 속도인 요 레이트(또는 요 속도)입니다.
  • 또 다른 중요한 파생물은 요 모멘트, 즉 요 회전의 각운동량이며, 이는 항공기 역학에서 역요에 중요하다.

모바일성 저하

참고 항목: 병렬 조작기

물리적 구속조건은 단일 강체의 자유도를 제한할 수 있다.예를 들어 평평한 테이블 위를 미끄러지는 블록은 2개의 변환 2T와 1개의 회전 1R로 이루어진 3개의 DOF 2T1R을 가진다.SCARA와 같은 XYZ 포지셔닝 로봇은 3DOF 3T의 이동성이 낮습니다.

모빌리티 공식

이동도 공식은 이러한 ^[3][4]차체를 연결하는 조인트에 의해 구속되는 일련의 강체 구성을 정의하는 매개변수의 수를 카운트합니다.

공간에서 이동하는 n개의 강체로 구성된 시스템이 고정 프레임에 대해 측정된 6n 자유도를 갖는다고 가정합니다.이 시스템의 자유도를 계산하기 위해서는 고정된 프레임을 형성하는 물체의 선택으로부터 이동성이 독립되도록 물체의 수에 고정된 물체를 포함시킵니다.그러면 N = n + 1의 구속되지 않은 계통의 구속도는 다음과 같다.

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

왜냐하면 고정된 물체는 자신보다 자유도가 0이기 때문이다.

이 시스템의 차체를 연결하는 조인트는 자유도를 제거하고 이동성을 낮춥니다.특히 힌지와 슬라이더는 각각 5개의 제약을 가하기 때문에 5개의 자유도를 제거합니다.관절이 가하는 구속조건의 수를 관절의 자유도 f의 관점에서 정의하는 것이 편리하다(여기서 c = 6 - f).힌지 또는 슬라이더의 경우 자유도가 1인 경우 f = 1이므로 c = 6 - 1 = 5이다.

그 결과 자유도_i f, i = 1, ..., j를 갖는 n개의 이동 링크와 j 조인트로 구성된 시스템의 이동성은 다음과 같이 주어진다.

$({displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\(6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\f_{i})$

N에는 고정 링크가 포함되어 있습니다.

(i)단순 오픈 체인 및 (ii)단순 클로즈드 체인이라는 두 가지 중요한 특수한 경우가 있습니다.단일 오픈 체인은 n개의 조인트로 엔드 투 엔드로 연결된 n개의 이동 링크로 구성되며, 한쪽 끝은 접지 링크에 연결됩니다.따라서, 이 경우, N = j + 1이며 사슬의 이동성은 다음과 같다.

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\f_{i}}$

단순 클로즈드 체인에서는 n개의 이동링크가 n+1개의 조인트에 의해 엔드 투 엔드로 접속되어 루프를 형성하고 있다.이 경우, N = j이고 체인의 이동성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\f_{i}-6}$

단순한 오픈 체인의 예로는 시리얼 로봇 조작기가 있습니다.이 로봇 시스템은 6개의 1자유도 회전관절 또는 프리즘 관절로 연결된 일련의 링크로 구성되어 있습니다. 따라서 시스템은 6개의 자유도를 가집니다.

단순한 클로즈드 체인의 예로는 RSSR 공간 4바 링크가 있습니다.이들 조인트 자유도의 합계는 8이므로 링크의 이동성은 2이며, 자유도 중 하나는 2개의 S 조인트를 연결하는 선 주위로 커플러가 회전하는 것입니다.

평면 및 구면 이동

모든 물체의 움직임이 평면에 놓이도록 제한되도록 연결 시스템을 설계하는 것은 일반적인 관행으로, 평면 연결이라고 알려진 것을 형성합니다.또한 모든 물체가 동심원 구면에서 움직이면서 구면 연동을 형성하도록 연계 시스템을 구성할 수도 있다.두 경우 모두, 각 시스템에서 링크의 자유도는 6이 아니라 3이며, 관절에 의해 부과되는 제약조건은 이제 c = 3 - f이다.

이 경우 모빌리티 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\f_{i},$

그리고 특별한 경우는

• 평면 또는 구형 단순 오픈 체인,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\f_{i}}$

• 평면 또는 구형 단순 폐쇄 체인,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\f_{i}-3.}$

평면 단순 폐쇄 사슬의 예로는 평면 4바 링크가 있으며, 이는 4개의 1개의 1도의 결합부가 있는 4바 루프이며, 따라서 이동성 M = 1을 가진다.

신체 체계

여러 개의 차체가 있는 시스템은 차체의 DOF의 합계인 복합 DOF를 가지며, 상대적 움직임에 대해 차감할 수 있는 내부 제약이 있다.다수의 연결된 강체를 포함하는 메커니즘 또는 링크는 단일 강체에 대한 자유도 이상을 가질 수 있다.여기서 자유도라는 용어는 링크의 공간 포즈 지정에 필요한 파라미터의 수를 설명하기 위해 사용됩니다.또한 로봇의 구성 공간, 작업 공간 및 작업 공간의 맥락에서 정의됩니다.

링크의 특정 유형은 오픈 키네마틱 체인으로, 일련의 강성 링크가 조인트에서 연결됩니다. 조인트는 하나의 DOF(힌지/슬라이딩) 또는 두 개의(원통형)를 제공할 수 있습니다.그러한 사슬은 로봇공학, 생체역학, 그리고 인공위성과 다른 우주 구조에서 흔히 발생한다.인간의 팔은 7개의 DOF를 가진 것으로 간주된다.어깨는 피치, 요, 롤을 주고, 팔꿈치는 피치를 허용하며, 손목은 피치, 요, 롤링을 허용한다.그 움직임들 중 3개만 있으면 우주의 어느 한 지점까지 손을 움직일 수 있지만, 사람들은 다른 각도나 방향에서 사물을 잡는 능력이 부족할 것이다.6개의 물리적 DOF를 모두 제어하는 메커니즘을 가진 로봇(또는 객체)은 홀로노믹이라고 합니다.제어 가능한 DOF 수가 총 DOF 수보다 적은 오브젝트는 비홀로노믹이라고 하며, 제어 가능한 DOF 수가 총 DOF 수보다 많은 오브젝트(인간의 팔 등)는 용장하다고 한다.손목과 어깨, 같은 움직임을 나타내는 두 DOF, 롤링, 완전한 360을 할 수 없으므로 서로 공급하기 때문에 인체 팔에서는 중복되지 않는다는 점에 유의하십시오.자유도는 다른 움직임과 같다.

모바일 로보틱스에서는 자동차와 같은 로봇은 2차원 공간에서 어떤 위치나 방향에도 도달할 수 있기 때문에 자세를 묘사하기 위해서는 3개의 DOF가 필요하지만 어느 시점에서도 전진 움직임과 스티어링 각도로만 움직일 수 있다.따라서 2개의 제어 DOF와 3개의 대표 DOF가 있습니다. 즉, 비홀로노믹입니다.3차원 공간에 3-4개의 제어 DOF(전진, 롤링, 피치, 제한된 범위, 요)를 가진 고정익 항공기도 직접 위/아래 또는 왼쪽/오른쪽으로 이동할 수 없기 때문에 비홀로노믹하다.

Pennestri, Cavacee 및 Vita는 ^[5]기계 시스템의 자유도를 계산하는 공식과 방법을 요약했습니다.

전기 공학

전기공학에서는 종종 위상 배열 안테나가 빔 또는 늘을 형성할 수 있는 방향의 수를 설명하기 위해 자유도가 사용됩니다.1개의 요소가 나머지 안테나 요소를 사용하여 건설적 또는 파괴적 간섭을 적용할 수 있는 기준으로 사용되므로 어레이에 포함된 요소 수보다 1개 적은 것과 같습니다.레이더 연습 및 통신 링크 연습은 빔 조향이 레이더 애플리케이션에 더 널리 적용되고 통신 링크의 간섭 억제에는 늘 조향이 더 널리 사용된다.

「 」를 참조해 주세요.

• 짐벌 잠금 – 3차원 짐벌 메커니즘에서 자유도가 1도 손실됨
• 운동학 – 힘을 고려하지 않고 물체의 움직임을 설명하는 물리학 분야
• 키네마틱 페어 – 상대적인 움직임을 구속하는 두 물리 객체 간의 연결
• XR-2 – 교육용 로봇 교육용 로봇

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