로빈 경계 조건

수학에서 로빈 경계 조건(/ˈrɒbɪn/; 적절한 프랑스어: [ʁɔbɛ]), 또는 세 번째 유형의 경계 조건은 빅토르 구스타브 로빈(1855–1897)의 이름을 딴 경계 조건의 일종이다.^[1] 일반적 또는 부분적 미분방정식에 부과할 때, 영역 경계에서 함수의 값과 그 파생상품 값의 선형 결합에 대한 명세서다. 다른 동등한 명칭은 푸리에 형 조건과 방사선 조건이다.^[2]

정의

로빈 경계 조건은 디리클레 경계 조건과 노이만 경계 조건의 가중 조합이다. 이는 경계의 서로 다른 하위 집합에 명시된 다른 유형의 경계 조건인 혼합 경계 조건과 대비된다. 로빈 경계 조건을 전자기 문제에서 적용하여 임피던스 경계 조건 또는 대류 경계 조건을 열 전달 문제에서 적용하여 임피던스 경계 조건이라고도 한다(Hann, 2012).

Ω이 주어진 방정식을 풀 도메인이고 Ω이 그 경계를 나타내는 경우 로빈 경계 조건은 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}=g\qquad {\text{on}}\partial \Oomega}}$

일부 0이 아닌 상수 a와 b 및 andΩ에 정의된 특정 함수 g의 경우. 여기서 u는 Ω에 대해 정의된 알 수 없는 솔루션이며 ∂u/∂n은 경계에서 정상적인 파생물을 나타낸다. 보다 일반적으로 a와 b는 상수보다는 (주어진) 함수가 허용된다.

한 차원에서는 예를 들어 Ω = [0,1]이면 로빈 경계 조건이 다음과 같은 조건이 된다.

${\displaystyle {\displaysty}au(0)-bu'(0)&=g(0)\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aigned}}}}$

파생상품과 관련된 용어 앞에 기호가 변경되는 것을 주목하라. 이는 정상값이 음의 방향에서 0포인트에서 [0,1]로, 1포인트에서 양방향으로 가리키기 때문이다.

적용

로빈 경계 조건은 일반적으로 과학과 공학에서 많은 맥락에서 나타나는 스터름-리우빌 문제를 해결하는 데 사용된다.

또한 로빈 경계 조건은 대류-확산 방정식의 절연 경계 조건의 일반적인 형태다. 여기서 경계 합이 0인 대류 및 확산 유량은 다음과 같다.

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}=0}$

여기서 D는 확산 상수, u는 경계에서의 대류 속도, c는 농도다. 두 번째 학기는 픽의 확산 법칙의 결과물이다.

참조

참고 문헌 목록

• 구스타프슨, K., T. 아베, (1998a) 세 번째 경계 조건 - 로빈의 조건이었습니까? 수학 지능 지수, 20, 1위, 63-71.
• 구스타프슨, K., T. 아베, (1998b). (빅토르) 구스타브 로빈: 1855–1897, The Mathemical Intelligence, 20, #2, 47–53.
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004). Applied mathematics, body and soul. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-00889-6.

• Atkinson, Kendall E.; Han, Weimin (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework. New York: Springer. ISBN 0-387-95142-3.

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Computational differential equations. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6.

• Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New York: Springer. ISBN 3-540-67296-6.

• Hahn, David W.; Ozisk, M. N. (2012). Heat Conduction, 3rd edition. New York: Wiley. ISBN 978-0-470-90293-6.