로빈스 대수

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추상 대수학에서 로빈스 대수학(Robins 대수학)은 보통 $\vee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lor$로 표시되며, $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg }$로 표시되는 단일 단항 연산을 포함하는 대수학이다$.$ 이러한 연산은 다음과 같은 공리를 만족시킨다.

모든 요소 a, b 및 c:

1. $연관성{\displaystyle }$: ${\displaystyle \vee (b}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \vee }$ c ${\displaystyle a\lor \left(b\lor c\right)=\left(a\lor b\right)\lor c}$
2. 동일률: ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \vee }$ a ${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$
3. 로빈스 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$:$¬$ (${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \mathrm{\vee }}$ (¬ b )${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ( ( b ) = \${\displaystyle displaystyle}$\${\displaystyle \mathrm{neg}}$\$left$(\$neg \left(a\lor b\right)\lor \eft(a\lor \right)=a}$

여러 해 동안 로빈스 알헤브라가 모두 부울 알헤브라스라는 것은 추측이 되었지만 증명되지는 않았다.이것은 1996년에 증명되었으므로, "로빈스 대수"라는 용어는 이제 "부울 대수"의 동의어일 뿐이다.

역사

1933년 에드워드 헌팅턴은 부울 알헤브라를 위한 새로운 공리 세트를 제안했는데, 이 공리는 위의 (1)과 (2)로 구성되며, 더하기:

• 헌팅턴의 방정식: $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \vee }$ b${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{\vee }}$ ${\displaystyle (\neg a\mathrm{}}$¬${\displaystyle b}$) = ${\displaystyle a}$ . ${\displaystyle \neg (\neg a\lor$ b$)\lor \neg (\neg$ a$\lor \neg$ b$)=a.$$}$

이러한 공리로부터 헌팅턴은 부울대수의 통상적인 공리를 도출했다.

그 직후 허버트 로빈스는 로빈스 추측을 제기했다. 즉 헌팅턴 방정식은 로빈스 방정식으로 대체될 수 있고, 그 결과는 여전히 부울대수일 것이다.${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \lor}$은(는) 부울 조인과 $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg$}부울$$ 보완을 해석할 수 있다$$.부울이 만나고 상수 0과 1은 로빈스 대수 원시 양으로부터 쉽게 정의된다.추측에 대한 검증이 있을 때까지 로빈스의 체계는 "로빈스 대수학"이라고 불렸다.

로빈스 추측을 검증하기 위해서는 로빈스 대수학의 이론으로서 헌팅턴의 방정식, 또는 부울 대수학의 다른 공리화를 증명할 필요가 있었다.헌팅턴, 로빈스, 알프레드 타르스키 등이 이 문제를 해결했지만 증거나 백범례를 찾지 못했다.

윌리엄 맥쿤은 1996년에 자동화된 정리 프로베른 EQP를 사용하여 추측을 증명했다.로빈스 추측에 대한 완전한 증거를 하나의 일관된 표기법으로 그리고 McCune을 가까이서 따르는 것에 대해서는 Mann(2003)을 참조한다.Dahn(1998)은 McCune의 기계 증빙을 단순화했다.

참고 항목

• 대수구조
• 부울 대수 최소 공리

참조

• Dan, B. I. (1998) "Robbins Algebras Are Boolean: McCune의 컴퓨터 생성 로빈스 문제의 해결책의 개정," 대수학 저널 208(2): 526–32.
• 만, 앨런(2003) "로빈스 추측의 완전한 증거"
• 윌리엄 맥쿤, "로빈스 알제브라는 부울이다" 증빙서류 및 다른 서류와 연결된다.