매끄러운 팔각형

매끄러운 팔각형은 1934년 칼 라인하르트가 발견한 평면 내 영역으로, 그가 추측한 모든 중심 대칭 볼록한 모양 중 평면의 최대 패킹 밀도가 가장 낮습니다.^[1]1947년 커트 말러가 독자적으로 발견하기도 했습니다.^[2]일반 팔각형의 모서리를 모서리에 인접한 두 변에 접하며 이에 인접한 변에 점근하는 쌍곡선의 단면으로 대체하여 구성됩니다.

시공

매끄러운 팔각형의 모서리는 중심이 일정한 면적을 가진 삼각형을 이루는 세 개의 규칙적인 팔각형을 회전시킴으로써 찾을 수 있습니다.

매끄러운 팔각형의 모양은 육각형 격자의 끝에 팔각형을 배치하는 포장으로부터 유도될 수 있습니다.모서리의 형상은 격자와 평활화된 팔각형이 서로 상대적으로 어떻게 회전하든 상관없이 밀도가 동일해야 하며, 각각의 인접한 형상과 맞닿아 있는 형상을 갖는 것이 요구되는 것은 모서리의 형상을 결정하는 데 사용될 수 있습니다.그림 중 하나는 중심에 의해 형성된 삼각형의 면적이 일정하게 유지되는 동안 회전하는 세 개의 팔각형을 보여주고 있으며, 이들은 가능한 한 서로 가깝게 포장되어 있습니다.일반적인 팔각형의 경우, 빨간색과 파란색 모양이 겹쳐서 모서리가 진행될 수 있도록 중앙의 중간에 있는 지점으로 클리핑하여 필요한 곡선을 생성하고, 이 곡선은 쌍곡선으로 밝혀집니다.

쌍곡선은 팔각형의 두 변에 접하며, 이에 인접한 두 변에 점근적으로 형성됩니다.^[3] ${\sqrt {2}}$ 은 중심을 점( $(2+{\sqrt {2}},0)$ + $(2+{\sqrt {2}},0)$ $(2+{\sqrt {2}},0)$ ${\$ $displaystyle {\$ $sqrt$ ${2}},$ 점 $(2,0)$ $(2,0)$ $)$ {\ $displaystyle {2}},$ 점(2, 0 $(2,0)$ $(2, 0)$ 의 $정팔각형$ 에 적용됩니다 $(2,0)$ 상수 ℓ 2 - $\ell ={\sqrt {2}}-1$ ${\displaystyle \ell$ = {\ $sqrt {2}-1}, m$ = $m=(1/2)^{1/4}$ / $m=(1/2)^{1/4}$ ) $m=(1/2)^{1/4}$ / $m=(1/2)^{1/4}$ ${\displaystyle$ m=(1 $/2)^{$ 1/ $2}$ $4$ 하이퍼볼라는 다음과 같은 식으로 주어집니다.

\ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}

또는 동등한 매개 변수화(오른쪽 가지에만 해당)

{\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell}}\cosh {t}\y&=m\sinh {t}\\end{aligned}

모수 값의 범위로 주어진, 모서리를 형성하는 쌍곡선의 부분에 대해

{\displaystyle -{\frac {\ln{2}}{4}}<t<\frac {\ln{2}}{4}}}.

쌍곡선에 접하는 팔각형의 선은 $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ = $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ± $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ( $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ + $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ) $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ( $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ - $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ ) ${\displaystyle$ y =\ $pm \left$ ({\ $sqrt {2}}+1\right)\left(x$ - 2 $\right)}$ 이고 $y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)$ 쌍곡선에 점근하는 선은 단순히 $y=\pm \ell x$ = $y=\pm \ell x$ ± ℓ $y=\pm \ell x$ ${\displaystyle$ y =\ $pm \ell x}$ 입니다 $y=\pm \ell x$

포장.

평활화된 팔각형을 포함한 모든 중앙 대칭 볼록 평면 집합에 대해 모양의 회전되지 않은 복사본이 격자 벡터에 의해 변환되는 격자 패킹에 의해 최대 패킹 밀도가 달성됩니다.^[4]평활화된 팔각형은 단일 패킹뿐만 아니라 1-모수 패밀리에 대해서도 최대 패킹 밀도를 달성합니다.이것들은 모두 격자무늬의 포장입니다.^[5]매끄러운 팔각형은 다음과^[2]^[3] 같이 최대 패킹 밀도를 갖습니다.

{\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}-1}}\approx 0.902414\",

이는 원의 최대 패킹 밀도보다 낮습니다^[3].

{\frac {\pi}{\sqrt {12}}\approx 0.906899.

보통의 정팔각형의 알려진 최대 패킹 밀도는

{\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,

또한 원의 최대 패킹 밀도보다 약간 적지만 매끄러운 팔각형보다 높습니다.^[6]

수학에서 해결되지 않은 문제:

스무딩 옥타곤은 최대 패킹 밀도가 가장 낮은 중앙 대칭 형상입니까?

(수학에서 더 많은 미해결 문제)

평면에서 매끄러운 팔각형이 모든 중앙 대칭 볼록 형상 중 가장 낮은 최대 패킹 밀도를 가지고 있다는 라인하르트의 추측은 풀리지 않은 채 남아 있습니다.부분적인 결과로, Fedor Nazarov는 평활화된 팔각형이 이 형상들 중에서 국소적으로 최소 포장 밀도를 갖는다는 것을 증명했습니다.^[7]

만약 중심 대칭이 필요하지 않다면, 정7각형은 더 낮은 패킹 밀도를 가질 것으로 추측되지만, 패킹 밀도나 최적성은 증명되지 않았습니다.울람의 패킹 추론은 3차원적으로 볼보다 더 낮은 최대 패킹 밀도를 갖는 볼록 형상은 없다고 말합니다.^[5]

참고문헌

^ Reinhardt, Karl (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 10: 216–230. doi:10.1007/BF02940676. S2CID 120336230.
^ ^a ^b Mahler, Kurt (1947). "On the minimum determinant and the circumscribed hexagons of a convex domain" (PDF). Indagationes Mathematicae. 9: 326–337. MR 0021017.
^ ^a ^b ^c Fejes Tóth, László; Fejes Tóth, Gábor; Kuperberg, Włodzimierz (2023). Lagerungen: Arrangements in the Plane, on the Sphere, and in Space. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Vol. 360. Cham: Springer. p. 106. doi:10.1007/978-3-031-21800-2. ISBN 978-3-031-21799-9. MR 4628019.
^ Fejes Tóth, László (1950). "Some packing and covering theorems". Acta Universitatis Szegediensis. 12: 62–67. MR 0038086.
^ ^a ^b Kallus, Yoav (2015). "Pessimal packing shapes". Geometry & Topology. 19 (1): 343–363. arXiv:1305.0289. doi:10.2140/gt.2015.19.343. MR 3318753.
^ Atkinson, Steven; Jiao, Yang; Torquato, Salvatore (September 10, 2012). "Maximally dense packings of two-dimensional convex and concave noncircular particles". Physical Review E. 86 (3): 031302. arXiv:1405.0245. Bibcode:2012PhRvE..86c1302A. doi:10.1103/physreve.86.031302. PMID 23030907. S2CID 9806947.
^ Nazarov, F. L. (1986). "On the Reinhardt problem of lattice packings of convex regions: Local extremality of the Reinhardt octagon". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI). 151: 104–114, 197–198. doi:10.1007/BF01727653. MR 0849319.

외부 링크

포장은 매끄러운 팔각형.John Baez, Visual Insight, AMS Blogs, 2014.
가장 얇은 밀도의 이차원 포장?피터 숄, 2001.

[reinhardt-1] Reinhardt, Karl (1934). "Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven". Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 10: 216–230. doi:10.1007/BF02940676. S2CID 120336230.

[mahler-2] Mahler, Kurt (1947). "On the minimum determinant and the circumscribed hexagons of a convex domain" (PDF). Indagationes Mathematicae. 9: 326–337. MR 0021017.

[lagerungen-3] Fejes Tóth, László; Fejes Tóth, Gábor; Kuperberg, Włodzimierz (2023). Lagerungen: Arrangements in the Plane, on the Sphere, and in Space. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Vol. 360. Cham: Springer. p. 106. doi:10.1007/978-3-031-21800-2. ISBN 978-3-031-21799-9. MR 4628019.

[ft-packing-4] Fejes Tóth, László (1950). "Some packing and covering theorems". Acta Universitatis Szegediensis. 12: 62–67. MR 0038086.

[kallus-pessimal-5] Kallus, Yoav (2015). "Pessimal packing shapes". Geometry & Topology. 19 (1): 343–363. arXiv:1305.0289. doi:10.2140/gt.2015.19.343. MR 3318753.

[ajt-6] Atkinson, Steven; Jiao, Yang; Torquato, Salvatore (September 10, 2012). "Maximally dense packings of two-dimensional convex and concave noncircular particles". Physical Review E. 86 (3): 031302. arXiv:1405.0245. Bibcode:2012PhRvE..86c1302A. doi:10.1103/physreve.86.031302. PMID 23030907. S2CID 9806947.

[nazarov-7] Nazarov, F. L. (1986). "On the Reinhardt problem of lattice packings of convex regions: Local extremality of the Reinhardt octagon". Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova Akademii Nauk SSSR (LOMI). 151: 104–114, 197–198. doi:10.1007/BF01727653. MR 0849319.

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