반영원리
Reflection principle수학의 한 분야인 세트 이론에서, 반사 원리는 모든 세트의 등급과 유사한 세트를 찾을 수 있다고 말한다."다시 합치다"가 정확히 무엇을 의미하느냐에 따라 몇 가지 다른 형태의 반영 원리가 있다.반사 원리의 약한 형태는 몬태규(1961년)로 인한 ZF 세트 이론의 정리인 반면, 더 강한 형태는 세트 이론의 새롭고 매우 강력한 공리가 될 수 있다.
"반성 원리"라는 이름은 모든 집합의 우주의 성질이 더 작은 집합으로 "반영"된다는 사실에서 유래한다.
동기
성찰 원리의 순진한 버전은 "모든 집합의 우주의 어떤 성질에 대해서도 우리는 같은 성질을 가진 세트를 찾을 수 있다"고 말한다.이것은 즉각적인 모순을 초래한다: 모든 집합의 우주에는 모든 집합이 포함되어 있지만, 모든 집합이 들어 있는 속성의 집합은 없다.유용한(그리고 비 모순적이지 않은) 반영 원칙을 얻기 위해서는 우리가 "재산"이라는 것이 무엇을 의미하는지 그리고 우리가 허용하는 속성에 대해 좀 더 주의를 기울일 필요가 있다.
비 모순적 반영 원칙을 찾기 위해 우리는 다음과 같이 비공식적으로 논쟁할 수 있다.파워셋, 하위셋, 교체의 공리 등 세트를 구성하는 방법의 A 컬렉션이 있다고 가정해 보십시오.우리는 이 모든 방법을 반복적으로 적용하여 얻은 모든 세트를 취하여 이 세트들을 5등급으로 형성하는 것을 상상할 수 있는데, 이것은 어떤 세트 이론의 모델이라고 생각할 수 있다.그러나 이제 우리는 집합 형성에 다음과 같은 새로운 원리를 도입할 수 있다: "A 집합의 모든 방법을 반복적으로 적용하여 집합으로부터 얻은 모든 집합의 집합도 집합이다."만약 우리가 이 새로운 원리를 세트 형성에 허용한다면, 우리는 이제 V를 지나칠 수 있고, 원칙 A와 새로운 원리를 사용하여 형성된 모든 세트의 등급 W를 고려할 수 있다.이 클래스 W에서 V는 A의 모든 설정 형식 작업에서 닫힌 세트일 뿐이다.즉 우주 W는 모든 방법 A에 의해 닫혀 있다는 점에서 W와 닮은 세트 V를 포함하고 있다.
우리는 이 비공식적인 주장을 두 가지 방법으로 사용할 수 있다.우리는 그것을 ZF 세트 이론으로 공식화하려고 노력할 수 있다; 이것을 함으로써 우리는 반사 이론이라고 불리는 ZF 세트 이론의 몇 가지 이론을 얻는다.대신에 우리는 이 주장을 이용하여 세트 이론에 대한 새로운 공리를 도입하는 동기를 부여할 수 있다.
ZFC에서
ZF 세트 이론에서 이전 절의 반영 원리에 대한 주장을 공식화하려고 할 때, 속성 A의 수집에 관한 몇 가지 조건(예를 들어, A는 유한할 수 있다)을 추가할 필요가 있는 것으로 나타났다.이렇게 하면 ZFC의 "반성 이론"과 밀접하게 관련된 여러 가지 "반성 이론"을 만들 수 있으며, 이 모든 상태는 ZFC의 거의 모델인 세트를 찾을 수 있다.
ZFC의 반사 원리의 한 형태는 ZFC의 모든 유한한 공리 집합에 대해 우리는 이러한 공리를 만족하는 계산 가능한 전이 모델을 찾을 수 있다고 말한다.(특히 이것은 ZFC가 일관성이 없는 한 정밀하게 공리화할 수 없다는 것을 증명한다. 왜냐하면 만약 그렇다면, Gödel의 두 번째 불완전성 정리와 모순되는 자기 모델의 존재를 증명하고, 따라서 그 자체의 일관성을 증명할 것이기 때문이다.)이 버전의 반사 정리는 뢰웬하임-스콜렘 정리와 밀접한 관련이 있다.
다른 버전의 반영 원리는 ZFC의 공식의 유한한 수에 대해 우리는 집합의 모든 공식들이 V에α 대해 절대적이도록 누적 계층 구조에서 설정된α V를 찾을 수 있다고 말한다(모든 집합의 우주에 있는 경우에만 V에α 매우 대략적으로 고정됨을 의미한다).따라서 이것은 적어도 주어진 한정된 수의 공식에 관한 한 세트 V는α 모든 세트의 우주를 닮았다고 말한다.특히 ZFC의 어떤 공식에 대해서도, 그 공식은 Vα See에 상대적인 모든 정량자를 가진 그것의 버전과 논리적으로 동등하다는 ZFC의 정리가 있다(Jech 2002, 페이지 168).
만약 κ이 접근하기 어려운 강한 추기경이라면, κ의 폐쇄된 무한 부분집합 C가 존재하게 되는데, 이는 모든 αcC에 대해α V에서κ V까지의 ID 함수는 기본적인 내장이다.
새로운 공리처럼
베르나이스는 하나의 세트 이론에 대한 공리로 반사 원리를 사용했다(Von Neumann-Bernays–Bernays–가 아님).괴델 집합론(Gödel set 이론, 이것은 더 약한 이론)이다.그의 반영원리는 대략 A가 어떤 속성을 가진 클래스라면, A∩u가 "유니버스" u의 하위집합으로 볼 때 같은 속성을 가질 수 있는 transitive set u를 찾을 수 있다고 명시했다.이것은 상당히 강력한 공리이고 접근하기 어려운 추기경들과 같은 작은 규모의 추기경들 몇 명의 존재를 암시한다.(확실히 ZFC의 모든 서수들의 등급은 그것이 집합이 아니라는 사실과 별도로 접근하기 어려운 추기경이며, 그렇게 되면 반사원리를 사용하여 동일한 프로를 가진 집합이 있다는 것을 보여줄 수 있다.변태, 즉 접근하기 어려운 추기경)불행히도 이것은 ZFC에서 직접 공리화할 수 없으며, 일반적으로 모스-켈리 세트 이론과 같은 계급 이론을 사용해야 한다.버네이스의 반영 원리의 일관성은 Ω-에르드스 추기경의 존재에 의해 함축되어 있다.
보다 강력한 반영 원리가 많이 있는데, 이는 다양한 큰 추기경 공리와 밀접한 관련이 있다.거의 모든 알려진 큰 추기경 공리에 대해 그것을 암시하는 알려진 반영 원리가 있으며, 반대로 가장 강력한 알려진 반영 원리를 제외한 모든 반영 원리는 알려진 큰 추기경 공리에 의해 암시된다(Marshall R. 1989년).이것의 예로는 모든 유한한 n에 대해 초인종 추기경의 존재를 암시하는 wholness 공리가 있으며 그 일관성은 I3 순위 내 추기경에 의해 함축되어 있다.
참조
- Jech, Thomas (2002), Set theory, third millennium edition (revised and expanded), Springer, ISBN 3-540-44085-2
- Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
- Lévy, Azriel (1960), "Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory", Pacific Journal of Mathematics, 10: 223–238, doi:10.2140/pjm.1960.10.223, ISSN 0030-8730, MR 0124205
- Marshall R., M. Victoria (1989), "Higher order reflection principles", The Journal of Symbolic Logic, Vol. 54, No. 2, 54 (2): 474–489, doi:10.2307/2274862, JSTOR 2274862, MR 0997881
- Montague, Richard (1961), "Fraenkel's addition to the axioms of Zermelo", in Bar-Hillel, Yehoshua; Poznanski, E. I. J.; Rabin, M. O.; Robinson, Abraham (eds.), Essays on the foundations of mathematics, Hebrew Univ., Jerusalem: Magnes Press, pp. 91–114, MR 0163840
- Reinhardt, W. N. (1974), "Remarks on reflection principles, large cardinals, and elementary embeddings.", Axiomatic set theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Part II, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., pp. 189–205, MR 0401475
- Koellner, Peter (2008), On Reflection Principles (PDF)
- Corazza, Paul (2000), "The Wholeness Axiom and Laver Sequences", Annals of Pure and Applied Logic, 105: 157–260, doi:10.1016/s0168-0072(99)00052-4
