랜덤 샘플링 메커니즘

랜덤 샘플링 메커니즘(RSM)은 사전 프리 메커니즘과 사전 독립 메커니즘에서 거의 최적의 이득을 얻기 위해 샘플링을 사용하는 진실한 메커니즘입니다.

우리가 경매에서 몇 가지 물건을 팔고 최대한의 이익을 얻고 싶다고 가정해 보자.가장 큰 어려움은 구매자 한 명당 얼마를 지불할 의향이 있는지 모른다는 것입니다.우리가 적어도 구매자들의 평가가 알려진 확률 분포를 가진 랜덤 변수라는 것을 안다면, 우리는 베이지안 최적 메커니즘을 사용할 수 있다.그러나 우리는 종종 그 분포를 모른다.이 경우 랜덤샘플링 메커니즘은 대체 솔루션을 제공합니다.

대규모 시장에서의 RSM

시장 반토막

시장이 큰 경우 다음과 같은 일반적인 방식을 ^[1]^{: 341–344}사용할 수 있습니다.

구매자들은 그들의 평가액을 공개하도록 요구받는다.
구매자는 M $(왼쪽)$ 과 $M_{R}$ R $(오른쪽)$ 의 2개의 서브마켓으로 나누어 간단한 랜덤 샘플링을 사용하여 각 구매자는 페어코인을 던져서 한쪽 측면으로 이동합니다.
각 $M_{s}$ $M_{s}$ {\ $style$ M_ ${s$ 에서 경험적 $F_{s}$ $F_{s}$ {\ $style F_{s}$ 를 $F_{s}$ 산출한다.
베이지안 최적 메커니즘(마이어슨 메커니즘)은 배포 F $({$ 의 서브마켓 $M_{R}$ MR $({$ }) 및 $F_{R}$ R $({$ 의 $M_{L}$ $M_{R}$ $({$ M_R})에 $M_L$ 적용됩니다.

이 체계를 "랜덤 샘플링 경험적 마이어슨"(RSEM)이라고 한다.

각 구매자의 신고는 그가 지불해야 하는 가격에 영향을 미치지 않습니다. 가격은 다른 하위 시장의 구매자에 의해 결정됩니다.따라서 구매자가 자신의 진정한 가치를 드러내는 것이 지배적인 전략이다.즉, 이것은 진실한 메커니즘입니다.

직관적으로 큰 수의 법칙에 따라 시장이 충분히 크면 경험적 분포는 실제 분포와 충분히 비슷하기 때문에 RSEM은 거의 최적에 가까운 이익을 얻을 수 있을 것으로 예상한다.그러나 이것이 반드시 모든 경우에 해당되는 것은 아닙니다.그것은 어떤 특별한 경우에 사실로 증명되었다.

가장 간단한 경우는 디지털 상품 경매입니다.여기서 4단계는 단순하며 각 하위 시장에서 최적의 가격을 계산하는 것으로만 구성됩니다. $M_{R}$ L $M_{L}$ { $display$ style $M$ _ { $L$ } 에서의 $M_L$ $M_R$ 최적 가격은 M R $M_{R}$ { $display style$ M _ { $R$ }} 에 $M_{R}$ 되며, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.따라서 이 메커니즘을 "랜덤 샘플링 최적 가격"(RSOP)이라고 합니다.이 경우는 항상 실행 가능한 할당을 계산하기 때문에 간단합니다.즉, 한쪽에서 산출된 가격을 반대쪽에서 적용할 수 있습니다.이것은 반드시 실제 상품의 경우는 아니다.

디지털 상품 경매에서도 RSOP가 반드시 최적의 수익으로 수렴되는 것은 아니다.이 값은 한정 평가 가정 하에서만 수렴됩니다. 각 구매자에 대해 품목의 평가는 $h$ 에서 h $(style$ h $h$ 사이입니다. $h$ 서 h $(style$ h $)$ 는 $h$ 일정합니다.RSOP에서 최적성에 대한 수렴률은 h $\displaystyle$ h에 $따라$ 달라집니다.수렴 속도는 ^[2]메커니즘에 의해 고려되는 가능한 "제공자"의 수에 따라 달라집니다.

오퍼(Offer)가 무엇인지 이해하기 위해 구매자의 가치(달러)가 $[1,h]$ [ $[1,h]$ , $[1,h]$ h $](\displaystyle [1,$ h $[1,h]$ 로 $[1,h]$ 제한되는 디지털 상품 경매에 대해 생각해 보십시오. 메커니즘이 달러 가격만을 사용하는 경우 가능한 오퍼(Offer)는 h $(\displaystyle$ h $)$ 입니다 $h$ .

일반적으로 최적화 문제는 단일 가격 이상의 것을 수반할 수 있습니다.예를 들어, 우리는 여러 디지털 상품을 판매하고 싶을 수 있으며, 각각의 디지털 상품은 가격이 다를 수 있습니다.그래서 우리는 "가격" 대신 "제안"에 대해 이야기합니다.가능한 오퍼의 글로벌 $세트$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 있다고 가정합니다.모든 $오퍼$ $displaystyle$ g $g\in G$ ) $및$ 에이전트 i(\ $displaystyle$ $g(i)$ i $)$ 에 $g(i)$ 대해 $에이전트$ i(\ $displaystyle$ g $(i$ $))$ 가 $i$ $오퍼$ g(\ $displaystyle$ g $g$ 를 제시했을 때 지불하는 금액입니다.디지털 상품 예에서는 $G$ (\ $displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 가능한 가격입니다.가능한 모든 $가격$ p\ $displaystyle$ p $p$ $displaystyle g_{$ p $g_{p}$ $}$ 에 대해 g $g_{p}(i)$ $($ $i$ ${\displaystyle v_{i}<semantics><mrow class=$ $g_{p$ }( $i)$ 가 $g_{p}(i)$ 0( ${\displaystyle v_{i}<semantics><mrow class=$ < ${\displaystyle v_{i}<semantics><annotation encoding=$ 인 $g_{p}$ ) $또는$ p $\displaystyle$ p $($ $v_{i}\geq p$ $v_{i}\geq p$ $\displaystyle v_{i}인 경우)$ 중 $g_{p}(i)$ 가 됩니다.

모든 에이전트 $세트$ S(\ $displaystyle$ S)에 $S$ 대해S(\ $displaystyle$ S $)$ 의 $S$ $g$ 에게오퍼 g(\ $displaystyle$ g $)$ 를 $g$ 제시함으로써 얻는 이점은 다음과 같습니다.

g(S):=\sum _{i\in S}g(i)

이 메커니즘의 최적의 이익은 다음과 같습니다.

OPT_{G}(S):=\max_{g\inG}g(S)

RSM은 각 $M_{s}$ $(\$ 에 대해 다음과 같이 최적의 $g_{s}$ $(\$ 를 계산합니다.

\displaystyle g_{s:=\max \{g\in G}g(M_{s})

나는{\displaystyle g_{나는}g 그 제의}MR{\displaystyle M_{R}의 구매자들}에, 즉:나는 MR{\displaystylei\in M_{R}∈는g 나는(나는)을 말했다 각 구매자};0{\displaystyle g_{나는}(나는)>0}과g 나는(나는){\displaystyle g_{나는}(나는)을 지불하}은었었거든 할당을 받는다;각각의 buye 적용된다.r에 $M_{R}$ $g_{L}(i)=0$ L $g_{L}(i)=0$ $=$ { $displaystyle g_{L}(i$ )= $0}$ 이라고 $g_{L}(i)=0$ 한 $({$ 은 $M_R$ 아무것도 받지 않고 지불하지 않습니다. $g_{R}$ $M_{L}$ 의 $M_L$ 구매자에게도 마찬가지로 오퍼 G ${$ $displaystyle$ g $_$ $M_{L}$ { $R$ $}$ 。

이익-오라클 체계

수익 오라클은 대형 ^[3]시장에서 사용할 수 있는 또 다른 RSM 스킴이다.에이전트의 평가에 직접 접근할 수 없는 경우(프라이버시 등의 이유로)에 유용합니다.우리가 할 수 있는 일은 경매를 해서 예상 수익을 지켜보는 것뿐입니다.단일 품목 경매에서 $입찰자가 n명$ 이고 $n$ 각 입찰자에 대해 가능한 $값$ 은 $최대$ K명(확률을 알 수 없는 임의 선택)입니다 $K$ $.$ 최대 수익 경매는 다음을 사용하여 알 수 있습니다.

{{displaystyle O(n^{2}K^{2}}}

신탁 수익에 대한 요청입니다.

소규모 시장에서의 RSM

RSM은 또한 시장이 작은 최악의 시나리오에서도 연구되었다.이 경우 시장 규모에 따라 달라지지 않는 절대 곱셈 근사 계수를 얻고자 합니다.

시장 반감형 디지털 제품

이 환경에서 첫 번째 연구는 단일 매개 변수 ^[4]유틸리티를 사용한 디지털 상품 경매에 관한 것이었다.

랜덤 표본 추출 최적 가격 메커니즘의 경우, 몇 가지 더 나은 근사치가 계산되었다.

이것에 의해,^[5] 메카니즘 이익은 최적치의 적어도 1/7600이 된다.
이것에 의해,^[6] 메카니즘 이익은 최적치의 15분의 1 이상이 된다.
이것에 의해,^[7] 메카니즘의 이익은 최적치의 1/4.68 이상, 대부분의 경우 최적치의 1/4이 되어, 타이트하다.

단일 샘플, 물리 제품

대리인의 평가가 일부 기술적 규칙성 조건(단조 위험률이라고 함)을 만족하는 경우, 다음과 ^[8]같은 메커니즘을 사용하여 최대 이익 경매에 대한 상수 요인 근사치를 얻을 수 있다.

단일 랜덤 에이전트를 샘플링하고 값을 쿼리합니다(에이전트에는 단일 파라미터 유틸리티가 있는 것으로 간주됩니다).
다른 에이전트에서는 샘플링된 에이전트에 의해 결정된 예약 가격으로 VCG 옥션을 실행합니다.

이 메커니즘의 이익은 $({displaystyle$ { $n-1\over$ 4n ${n-1 \over 4n}$ 입니다. $n$ 서 n ${displaystyle$ n $}$ 은 $n$ 에이전트 수입니다.이는 에이전트가 2개인 경우 1/8로, 에이전트 수가 증가함에 따라 1/4로 증가합니다.이 방식은 동시에 승리할 수 있는 에이전트의 서브셋에 대한 제약을 처리하기 위해 일반화할 수 있습니다(예: 한정된 수의 항목만 있음).또한 다양한 속성을 가진 에이전트(예: 젊은 입찰자와 늙은 입찰자)를 처리할 수 있습니다.

복잡도 예시

랜덤 샘플링 메커니즘의 샘플 복잡도는 최적의 복지에 대한 합리적인 근사치를 얻기 위해 샘플링해야 하는 에이전트의 수입니다.

의 결과는 단일 품목 ^[9]경매의 수익 극대화 샘플 복잡성에 대한 몇 가지 한계를 나타냅니다.

1 $/$ (디스플레이 $스타일$ 1/4 $)$ 의 $1/4$ $최적$ 예상 수익의 대략적인 경우 샘플복잡도는 1 $(디스플레이$ $1$ 스타일 1 $)$ 로 단일 샘플로도 충분합니다.이것은 입찰자가 신분증이 아닐 때에도 해당됩니다.^[10]
1 $1-\epsilon$ - ${\({displaystyle 1-\epsilon})$ 의 $1-\epsilon$ $1-\epsilon$ 예상 $1-\epsilon$ 에 대한 근사치에 대해, 입찰자가 i.i.d이거나 아이템(디지털 상품)의 무제한 공급이 있을 때 샘플 $O(1/\epsilon ^{2})$ 는 $O(1/\epsilon ^{2})$ O( $O(1/\epsilon ^{2})$ / $)$ 2)이며, $O(1/\epsilon ^{3})$ $분포$ 의 O $O(1/\epsilon ^{3})$ $1/\epsilon ^2})$ 는 $O(1/\epsilon ^{2})$ O $O(1/\epsilon ^{2})$ 1/ $O(1/\epsilon ^{2})$ /epsilon rate $O(1/\epsilon ^{3})$ 이다. $O(1/\epsilon ^{3})$ $O(1/\epsilon ^{3})$ )( $에이전트$ 배포가 정규적이지만 모노톤 위험 환율이 아닌 경우) {\ $displaystyle O(1$ /\ $epsilon ^{$ 3 $O(1/\epsilon ^{3})$ }}).

대리점이 신분증이 없고(각 대리점의 가치는 다른 정규 분포에서 도출됨) 상품의 공급이 제한적일 경우 상황은 더욱 복잡해진다.에이전트가k개의 $k$ 서로 다른 $분포$ 에서 온 경우 $1-\epsilon$ 1 - is \ $displaystyle 1-\epsilon의$ 는 $1-\epsilon$ 품목 경매에서 최적의 예상 수익에 대한 근사치입니다 $1-\epsilon$ .^[9]

$O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ O $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ 10 $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ 7 $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ 3 $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ k $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ ) $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ { $displaystyle$ O $({k^{$ 10} \ $over \epsilon ^{7}}\ln$ ^{3}{k \ $over$ \ $epsilon$ }}) $O({k^{10} \over \epsilon ^{7}}\ln ^{3}{k \over \epsilon })$ - 경험적 마이어슨 경매의 변형을 사용한다.
최소 $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ ( $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ l $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ k $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ ) { $displaystyle \Omega$ { k \ $over$ { $sqrt$ { \ $sepsilon$ \ $ln$ k}} $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ } $\Omega ({k \over {\sqrt {\epsilon \ln k}}})$ (단일 위험률 정기 평가의 경우) 및 최소 $\Omega ({k \over \epsilon })$ ( $\Omega ({k \over \epsilon })$ \ $displaystyle \ over$ \ $epsilon }$ ）。 $\Omega ({k \over \epsilon })$

^[11] 단일 파라미터 유틸리티 에이전트(단일품목 경매뿐 아니라) 및 임의 경매 에이전트(특정 경매뿐 아니라)와 임의 경매에 대해 논의한다.표본 복잡성에 대한 알려진 결과에 기초하여, 그들은 주어진 등급의 경매에서 최대 수익 경매를 근사하는 데 필요한 표본의 수가 다음과 같다는 것을 보여준다.

({displaystyle O{\bigg}({H\over\epsilon})^{2}(D\ln({H\over\epsilon})+\ln({1\over\delta })}){\bigg}}})

여기서:

에이전트의 평가는 [ $[1,H]$ $]$ { $displaystyle [1,$ H $[1,H]$
경매 등급의 유사 VC 치수는 $최대$ D $(\displaystyle$ D $D$ 입니다.
$1-\epsilon$ 한 근사 계수는 $1-\epsilon$ - $1-\epsilon$ {\(\ $display style$ 1- $\ilon$
필요한 성공 확률은 $1-\delta$ - $（$ \ $display$ style $1-$ \ $display$ $1-\delta$ 입니다.

특히, 그들은 t $\displaystyle$ t-level $t$ 경매라고 $불리는$ 단순 경매의 종류를 고려하고 있다: t $\displaystyle$ t-level $t$ $경매$ (단일 예비 가격의 Vickrey 경매는 1단계 경매이다).이들은 이 클래스의 의사 VC 치수가 O $O(nt\ln(nt))$ $O(nt\ln(nt))$ ln $O(nt\ln(nt))$ ( $O(nt\ln(nt))$ $){$ $display style$ O $(nt\ln(nt$ 을 증명하고 있습니다.이는 곧 일반화 오류와 샘플 복잡성에 대한 한계로 변환됩니다.그들은 또한 이 등급의 경매의 표현 오류에 대한 경계를 증명한다.

부럽다

랜덤 샘플링 메커니즘의 단점은 부러움이 없다는 것입니다.예를 들어, 2개의 $M_{L}$ $M_{L}$ L $($ $M_{R}$ 스타일 M_ ${L$ })과 $M_{R}$ M R $(디스플레이$ 스타일 $M_{$ R $M_{R}$ })의 최적 가격이 다를 경우 서브마켓마다 다른 가격을 제시합니다.즉, 가격 차별이 있습니다.이것은 다음과 같은 점에서 불가피하다: 최적의 수익에 ^[12]근접하는 단일 가격 전략 검증 경매는 없다.

「」를 참조해 주세요.

시장 조사
가격 설정
합의 추정 - 사전 프리 메커니즘 설계에 대한 대체 접근법.

레퍼런스

^ Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva (2007). Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.
^ Balcan, Maria-Florina; Blum, Avrim; Hartline, Jason D.; Mansour, Yishay (2008). "Reducing mechanism design to algorithm design via machine learning". Journal of Computer and System Sciences. 74 (8): 1245. doi:10.1016/j.jcss.2007.08.002.
^ Edith Elkind (2007). Designing And Learning Optimal Finite Support Auctions. SODA.
^ Goldberg, Andrew V.; Hartline, Jason D. (2001). "Competitive Auctions for Multiple Digital Goods". Algorithms — ESA 2001. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2161. p. 416. CiteSeerX 10.1.1.8.5115. doi:10.1007/3-540-44676-1_35. ISBN 978-3-540-42493-2.
^ Goldberg, Andrew V.; Hartline, Jason D.; Karlin, Anna R.; Saks, Michael; Wright, Andrew (2006). "Competitive auctions". Games and Economic Behavior. 55 (2): 242. doi:10.1016/j.geb.2006.02.003.
^ Feige, Uriel; Flaxman, Abraham; Hartline, Jason D.; Kleinberg, Robert (2005). "On the Competitive Ratio of the Random Sampling Auction". Internet and Network Economics. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3828. p. 878. CiteSeerX 10.1.1.136.2094. doi:10.1007/11600930_89. ISBN 978-3-540-30900-0.
^ Alaei, Saeed; Malekian, Azarakhsh; Srinivasan, Aravind (2009). "On random sampling auctions for digital goods". Proceedings of the tenth ACM conference on Electronic commerce - EC '09. p. 187. CiteSeerX 10.1.1.758.3195. doi:10.1145/1566374.1566402. ISBN 9781605584584. S2CID 582565.
^ ^a ^b Dhangwatnotai, Peerapong; Roughgarden, Tim; Yan, Qiqi (2015). "Revenue maximization with a single sample". Games and Economic Behavior. 91: 318–333. doi:10.1016/j.geb.2014.03.011.
^ ^a ^b Cole, Richard; Roughgarden, Tim (2014). "The sample complexity of revenue maximization". Proceedings of the 46th Annual ACM Symposium on Theory of Computing - STOC '14. p. 243. arXiv:1502.00963. doi:10.1145/2591796.2591867. ISBN 9781450327107.
^ Hartline, Jason D.; Roughgarden, Tim (2009). "Simple versus optimal mechanisms". Proceedings of the tenth ACM conference on Electronic commerce - EC '09. p. 225. doi:10.1145/1566374.1566407. ISBN 9781605584584.
^ On the Pseudo-Dimension of Nearly Optimal Auctions. NIPS. 2015. arXiv:1506.03684. Bibcode:2015arXiv150603684M.
^ Andrew V. Goldberg and Jason D. Hartline (2003). "Competitiveness via consensus". Proceedings of the fourteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. SODA '03. Retrieved 7 January 2016.

[agt-1] Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva (2007). Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.

[Balcan08-2] Balcan, Maria-Florina; Blum, Avrim; Hartline, Jason D.; Mansour, Yishay (2008). "Reducing mechanism design to algorithm design via machine learning". Journal of Computer and System Sciences. 74 (8): 1245. doi:10.1016/j.jcss.2007.08.002.

[3] Edith Elkind (2007). Designing And Learning Optimal Finite Support Auctions. SODA.

[Goldberg01-4] Goldberg, Andrew V.; Hartline, Jason D. (2001). "Competitive Auctions for Multiple Digital Goods". Algorithms — ESA 2001. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2161. p. 416. CiteSeerX 10.1.1.8.5115. doi:10.1007/3-540-44676-1_35. ISBN 978-3-540-42493-2.

[Goldberg06-5] Goldberg, Andrew V.; Hartline, Jason D.; Karlin, Anna R.; Saks, Michael; Wright, Andrew (2006). "Competitive auctions". Games and Economic Behavior. 55 (2): 242. doi:10.1016/j.geb.2006.02.003.

[Feige05-6] Feige, Uriel; Flaxman, Abraham; Hartline, Jason D.; Kleinberg, Robert (2005). "On the Competitive Ratio of the Random Sampling Auction". Internet and Network Economics. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3828. p. 878. CiteSeerX 10.1.1.136.2094. doi:10.1007/11600930_89. ISBN 978-3-540-30900-0.

[Alaei09-7] Alaei, Saeed; Malekian, Azarakhsh; Srinivasan, Aravind (2009). "On random sampling auctions for digital goods". Proceedings of the tenth ACM conference on Electronic commerce - EC '09. p. 187. CiteSeerX 10.1.1.758.3195. doi:10.1145/1566374.1566402. ISBN 9781605584584. S2CID 582565.

[dhang15-8] Dhangwatnotai, Peerapong; Roughgarden, Tim; Yan, Qiqi (2015). "Revenue maximization with a single sample". Games and Economic Behavior. 91: 318–333. doi:10.1016/j.geb.2014.03.011.

[cr15-9] Cole, Richard; Roughgarden, Tim (2014). "The sample complexity of revenue maximization". Proceedings of the 46th Annual ACM Symposium on Theory of Computing - STOC '14. p. 243. arXiv:1502.00963. doi:10.1145/2591796.2591867. ISBN 9781450327107.

[hr09-10] Hartline, Jason D.; Roughgarden, Tim (2009). "Simple versus optimal mechanisms". Proceedings of the tenth ACM conference on Electronic commerce - EC '09. p. 225. doi:10.1145/1566374.1566407. ISBN 9781605584584.

[11] On the Pseudo-Dimension of Nearly Optimal Auctions. NIPS. 2015. arXiv:1506.03684. Bibcode:2015arXiv150603684M.

[Goldberg03-12] Andrew V. Goldberg and Jason D. Hartline (2003). "Competitiveness via consensus". Proceedings of the fourteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. SODA '03. Retrieved 7 January 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Search

랜덤 샘플링 메커니즘

네임스페이스

더

목차

대규모 시장에서의 RSM

시장 반토막

이익-오라클 체계

소규모 시장에서의 RSM

시장 반감형 디지털 제품

단일 샘플, 물리 제품

복잡도 예시

부럽다

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

Search

랜덤 샘플링 메커니즘

대규모 시장에서의 RSM

시장 반토막

이익-오라클 체계

소규모 시장에서의 RSM

시장 반감형 디지털 제품

단일 샘플, 물리 제품

복잡도 예시

부럽다

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.