투사 커버

범주론이라 불리는 추상 수학의 분과에서, 물체 X의 투사적 표지는 어떤 의미에서 투사적 물체 P에 의한 X의 가장 좋은 근사치를 나타낸다.투영 커버는 주입식 봉투의 이중이다.

정의

$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 범주로 하고$$ X를 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 객체로 한다$.$ 투사형 덮개는 $쌍{\displaystyle \mathcal{}}$(P,p), P는 C ${\$의 투사형이고 p는 hom(P, X)의 덧셈형이다.

만약 R이 고리라면, 그렇다면 R-모듈의 범주에서, 불필요한 경구체는 경구체 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle P}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ p$:$p의 낟알이 P의 불필요한 하위모듈이$되도록$ P\to $X}$

특성.

투영적인 커버와 그 덧없는 인식은, 그것들이 존재했을 때, 이형성에 이르기까지 독특한 것이다.그러나 투영적 속성이 완전한 보편적 속성이 아니기 때문에 이형성만이 유일할 필요는 없다.

p가 불필요한 커널을 갖는 주된 효과는 다음과 같다:N이 P의 ${\displaystyle \mathrm{적절한}}$ 하위 모듈이라면,${\displaystyle }p{\displaystyle }$ (${\displaystyle N}$ ) ${\displaystyle \ne }$ M ${\displaystyle$ p$(N)\neq$M$\}.$^[1] 비공식적으로 말하자면, 이는 불필요한 커널이 P를 최적으로 커버하게 한다는 것을 보여준다. 즉, P의 하위 모듈로는 충분치 않을 것이다.이것은 P의 투영성에 의존하지 않는다: 그것은 모든 불필요한 인식에 사실이다.

(P,p)가 M의 투사형 표지이고, P'가 경구형 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p'$을 가진 또 다른 투사형 모듈인 경우:$P'\rightarrow M$ $그러면{\displaystyle }$ P'에서 P'로 분할된 경구 α가 있어 p ${\displaystyle \alpha }$= p${\displaystyle {}^{}}$ = p$$p {\$displaystyle$ p$\alpha$ =$p'}$

링 R과 관계없이 모든 좌측(우측) R-모듈에 대해 존재하는 주입식 봉투와 평면 커버와 달리, 좌측(우측) R-모듈은 일반적으로 투사형 커버가 없다.모든 좌측(우측) R-모듈에 R-모드(Mod-R)에 투영 커버가 있으면 R-R은 왼쪽(우측) 완벽이라고 한다.

미세하게 생성된 모든 좌측(우측) R-모듈이 R-모드(Mod-R)에 투영 커버를 갖는 경우 링은 세미퍼펙트(semiperfect)라고 불린다."Semipect"는 좌우 대칭 속성이다.

idempotents가 R/J에서 R로 들어올리면 lift/rad라고 하는데, 여기서 J는 R의 제이콥슨 급진파다.리프팅/레이드가 되는 특성은 투영 커버의 관점에서 특징지어질 수 있다: R 모듈 R/J의 직접 합계가 투영 커버를 갖는 경우에만 R이 리프트/레이드된다(^[2]오른쪽 또는 왼쪽 모듈로서.

예

R 모듈 범주에서:

• 만약 M이 이미 투영 모듈이라면, M에서 M까지의 ID 맵은 불필요한 인식론(그 커널은 0이다)이다.따라서 투영 모듈은 항상 투영 커버를 가지고 있다.
• J(R)=0인 경우, M은 이미 투영된 경우에만 투영 커버가 있다.
• 모듈 M이 단순한 경우, 모듈 M이 존재하는 경우, 반드시 투영 커버의 상단이 된다.
• 모듈에 대한 주입 봉투는 항상 존재하지만 특정 링 모듈에 투영 커버가 없을 수 있다.예를 들어 Z에서 Z/2Z로 가는 자연지도는 Z-모듈 Z/2Z의 투영표지가 아니다(사실상 투영표지가 없다).그것의 모든 오른쪽 모듈에 투영 커버를 제공하는 반지의 등급은 오른쪽 완벽한 반지의 등급이다.
• 모든 R-모듈 M은 평평한 커버를 가지고 있는데, 이것은 R이 투사형 커버를 가지고 있다면 투사형 커버와 같다.

참고 항목

• 투영 분해능

참조

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Rings and Categories of Modules. Springer. ISBN 0-387-97845-3. Retrieved 2007-03-27.
• Faith, Carl (1976), Algebra. II. Ring theory., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, No. 191. Springer-Verlag
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0