다항식 레미니스케이트

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수학에서 다항식 레미니스카이트 또는 다항식 레벨 곡선은 도 n의 복잡한 계수를 갖는 다항식 p로 구성된 도 2n의 평면 대수 곡선이다.

그러한 어떤 다항식 피와 긍정적인 실수 c를 위해, 우리는)c.{\displaystyle p(z)=c.}의 숫자가 이 세트는 진정한 데카르트 평면에 있는 지점에 해당할 것에는 정도 2n의(z¯ p(z)p¯을 확장시키는 것으로부터는 대수 곡선 ƒ(), y))c2에 선도적인 복소수 p(z)에 의해 집합을 정의할 수 있다. )${\displaystyle }$z = x + iy의 관점에서 ${\displaystyle p(z){p}({\bar {z})}$

p가 도 1의 다항식일 때, 결과 곡선은 단순히 원의 중심이 p의 0인 원이다.p가 도 2의 다항식일 때 곡선은 카시니 타원형이다.

에르드스 레미스케이트

상당한 관심을 끌어온 Erdős에 대한 추정은 p가 단색일 때 다항식 nis(x, y) = 1 도 2n의 최대 길이에 관한 것으로, Erdős 추측은 p(z) = zⁿ - 1에서 얻어졌다.이것은 여전히 증명되지 않았지만 Fryntov와 Nazarov는 p가 지역 최대치를 준다는 것을 증명했다.^[1]n = 2일 때 에르드스 레미스케이트는 베르누이의 레미니스케이트다.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\,}$

그리고 이것이 정말로 4도의 최대 길이라는 것이 증명되었다.에르드스 레미니스케이트에는 세 개의 일반적인 n-폴드 지점이 있는데, 그 중 하나는 기원에 있으며, (n - 1)(n - 2)/2의 속이다.단위 원 안에서 에르드데스 나니스케이트를 뒤집음으로써 비정형적인 도 n의 곡선을 얻는다.

일반 다항식 레미니스케이트

일반적으로 다항식 레미니스케이트는 원점에 닿지 않으며, 두 개의 일반적인 n-폴드 특이점만을 가지며, 따라서 (n - 1)의 속성이 된다.²실제 곡선으로서, 그것은 많은 분리된 요소들을 가질 수 있다.따라서, 그것은 나체처럼 보이지 않을 것이고, 이름을 잘못된 명칭으로 만들 것이다.

그러한 다항식 레미니스케이트의 흥미로운 예는 만델브로트 곡선이다.p₀ = z, p_n = p_n−1² + z를 설정하면 p_n(z) = 2로 정의된 해당 다항식 레미네이케이트 M이_n 만델브로트 집합의 경계로 수렴된다.^[2]만델브로트 곡선은 2도ⁿ⁺¹ 입니다.^[3]

메모들

참조

• 알렉상드르 에레멘코와 월터 헤이먼, 레미스케이트의 길이에 관하여, 미시간 수학. J, (1999), 46, 2, 409–415 [1]
• O. S. 쿠스넷조바와 V. G.Tkachev, Lemniscates의 Length 함수, Escenea Math, (2003), 112, 519–538 [2]