다면 공간

다면체 공간은 일정한 미터법 공간이다.A (유클리드) 다면 공간은 (일반적으로 유한) 단순 복합체로서 모든 심플렉스에는 평탄한 지표가 있다. (다른 관심 공간은 구면 및 쌍곡 다면 공간이며, 모든 심플렉스에는 일정한 양의 또는 음의 곡률의 지표가 있다.)속편에서 모든 다면공간은 유클리드 다면공간으로 간주된다.

예

모든 1차원 다면 공간은 미터법 그래프일 뿐이다.2차원 예시의 좋은 원천은 2차원 표면의 삼각형을 구성한다.$R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있는 볼록 다면체의 표면은 2차원 다면체 공간이다$$.

모든 PL-매니폴드(편리성을 위해 일부 기술적 가정만 있는 단순 다지관과 본질적으로 동일함)는 다면 공간의 예다.사실, 정상 다지관에 주의를 제한하는 것이 더 이치에 맞지만, 가성비를 고려할 수 있다.

미터법 특이점

다면 공간(특히 위상학적 다지관인 공간)의 연구에서 미터법 특이점이 중심 역할을 한다.다면체 공간은 n차원 다지관이 되도록 한다.n차원 위상학 다지관인 다면공간의 한 지점이 R^n에 있는 유클리드 근린에 근린 등축이 없다면 이 지점은 미터법 특이점이라고 한다.미터법 원뿔이 있는 R^{n-k}에 대한 근린 등축이 있는 경우 코디멘션 k의 특이점이다.코디멘션 2의 특이점은 매우 중요하다; 그것들은 원뿔각이라는 하나의 숫자로 특징지어진다.

이 특이점들은 또한 지형학적으로 연구할 수 있다.그렇다면 예를 들어, 코다이멘션 2의 위상학적 특이점은 없다.경계가 없는 3차원 다면체 공간(다른 면에 붙지 않는 범위)에서 어떤 지점도 투사면 위로 열린 공이나 원뿔에 가까운 동형체를 가지고 있다.전자의 경우, 점은 반드시 코디네이션 3계측 특이점이다.다면체 공간의 특이점들을 국소적으로 분류하는 일반적인 문제는 대부분 해결되지 않았다(예를 들어, 어떤 특이점들은 구면 다면체 공간에 있는 원뿔이고 우리는 거기서 특이점을 연구할 수 있다는 단순한 진술과는 별개).

곡률

다면 공간의 곡률(알렉산드로프 공간의 의미에서의 곡률), 특히 비음, 비양성 곡률의 다면 공간의 곡률을 연구하는 것이 흥미롭다.코다이멘션 2의 특이점에 대한 비음극 곡면성은 전체적으로 비음극 곡면성을 의미한다.그러나 이는 비양성 곡률의 경우 거짓이다.예를 들어, 한 옥타트가 제거된 R^3을 고려하십시오.Then on the edges of this octant (singularities of codimension 2) the curvature is nonpositive (because of branching geodesics), yet it is not the case at the origin (singularity of codimension 3), where a triangle such as (0,0,e), (0,e,0), (e,0,0) has a median longer than would be in the Euclidean plane, which is characteristic of nonnegative cur본을 뜨다

추가구조

리만 기하학의 많은 개념들이 적용될 수 있다.평행 운송에 대한 분명한 개념은 하나뿐이고 자연적인 연결은 하나뿐이다.이 경우 홀로노미의 개념은 놀라울 정도로 간단하다.제한된 홀로노미 그룹은 사소한 것이고, 따라서 기본 그룹에서 홀로노미 그룹까지 동형식이 존재한다.특히 모든 특이점을 제거하여 평평한 리만 미터법을 가진 공간을 확보하고 그곳에서 홀로노미를 연구하는 것이 편리할 것이다.따라서 발생하는 하나의 개념은 다면체 Kahler 다지관이다. 집단에 홀로노미가 포함되어 있을 때, 단일 행렬에 결합한다.이 경우, 홀노믹스는 또한 이 다면체 공간(매니폴드)에 있는 복잡한 구조와 함께 특이점이 제거된 동정적 형태를 보존한다.미분형, L2 미분형 등 모든 개념은 그에 따라 조정된다.

기타 항목

또 다른 연구 방향은 다면 공간에서의 역동적인 당구의 발전이다. 예를 들어, 비양성적인 곡률(하이퍼볼릭 당구)의 발전이다.양의 곡선 다면 공간은 유클리드 다면 공간에서 점의 링크(일반적으로 미터법 특이점)로도 발생한다.

역사

전체적으로 다면 공간은 처음에 밀카에 의해 정의되었다.

참조

• Burago, Dmitri; Yuri Burago; Sergei Ivanov (2001-06-12) [1984]. A Course in Metric Geometry. American Mathematical Society (publisher). pp. 417 pages. ISBN 0-8218-2129-6 (2001 edition).

• 드미트리 파노프 "폴리헤드랄 칼러 다지관"