순열 코드

순열 코드는 1965년 Slepian에 ^[1]^[2]의해 처음 도입된 오류 수정 코드 계열이며 플래시 메모리^[5] 및 전력선 ^[6]통신과 관련된 응용으로 인해 조합론 및 정보^[3]^[4] 이론에서 널리 연구되어 왔습니다.

정의 및 속성

순열 $코드$ C({ $displaystyle$ C $C$ })는 $길이$ n개의 문자열 사이의 일반적인 해밍 거리를 부여받은 $({$ $displaystyle$ $S_{n$ $n$ 의 $S_{n}$ 대칭 그룹의 부분 집합으로 정의됩니다. 더 정확히 말하면, $\sigma ,\tau$ {\ $displaystyle$ $\sigma,$ $\$ $displaystyle$ $\sigma ,\tau$ $S_$ $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ 으로 d $τ$ ) $=$ { $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ { $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ . $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ $d(\tau ,\sigma )=|\left\{i\in \{1,2,...,n\}:\sigma (i)\neq \tau (i)\right\}|$ : $τ$ ( $) }$ {\ $displaystyle$ d(\displaystyle d) = \left\{i\in \{ $1, 2,$ ..., $n\n\}:\displaystyq \right }$ 의 순열입니다.

순열 $코드$ $C({$ displaystyle $d_{min}$ $})$ 의 $C$ 최소 거리는 최소 양의 $d_{min}$ dm $({displaystyle d_{min$ 로 정의되며, 따라서 $\sigma ,\tau$ , $\sigma ,\tau$ $d(\sigma ,\tau )=d_{min}$ , \ $tau}$ $∈,$ \ $displaystyle$ $C$ ({displaystyle $\sigma$ $,$ \ $\in$ $})$ 가 존재하며 $d(\sigma ,\tau )=d_{min}$ 이는 $d(\sigma ,\tau )=d_{min}$ 과 같이 구별됩니다. $d(\sigma ,\tau )=d_{min}$ ◦ ) $d(\sigma ,\tau )=d_{min}$ d $(\displaystyle$ d $(\$ displaystyle,\ $displays$ )= $d_{min$

순열 코드가 특정 채널에 적합한 이유 중 하나는 알파벳 기호가 각 코드 워드에 한 번만 나타나기 때문입니다. 예를 들어, 전력선 통신의 맥락에서 발생하는 오류가 코드 워드에 미치는 영향이 적습니다.

길버트-바르샤모프 경계

순열 코드의 주요 문제는 M $M(n,d)$ $)$ 의 $M(n,d)$ 값을 결정하는 것입니다. $M(n,d)$ 서 M $(n, d)$ 은 길이 $M(n,d)$ $n$ ({ $displaystyle$ n $n$ $d$ 과 $최소$ 거리d({ $displaystyle$ d})의 순열 코드에서 최대 코드 워드 수로 정의됩니다.4 $4\leq d\leq n-1$ $4\leq d\leq n-1$ $4\leq d\leq n-1$ - $4\leq d\leq n-1$ \ $displaystyle$ 4 $\leq$ d $\leq n-1$ 에 대해 작은 길이를 제외하고는 거의 진행되지 않았습니다. $k\in \{0,1,...,n\}$ { $k\in \{0,1,...,n\}$ $k\in \{0,1,...,n\}$ . $k\in \{0,1,...,n\}$ . , $k\in \{0,1,...,n\}$ $}$ {\ $displaystyle$ $k$ $\in \{0, 1,$ ..., ..., $n\}$ 로 $k\in \{0,1,...,n\}$ $k\in \{0,1,...,n\}$ $D(n,k)$ $D(n,k)$ $)$ ${\$ $displaystyle$ D $($ $n, k)}$ 를 $D(n,k)$ $D(n,k)$ 하여 동일한 거리 ${displaystyle$ k}를 $S_{n}$ $k$ $S_{n}$ 갖는 Sn의 $S_{n}$ $S_{n}$ 집합을 나타낼 수 있습니다.

$D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ ( $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ ) $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ { $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ : $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ H ( $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ , $D(n,k)=\{\sigma \in S_{n}:d_{H}(\sigma ,id)=k\}$ ) $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ $k$ }{{\ $sigma$ \ $in S_{n}:d_{$ H}(\ $sigma,$ id)= $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ $\}$ 를 $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ D $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ ( $,$ k ) $=$ ( $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ k $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ $|D(n,k)|={\tbinom {n}{k}}D_{k}$ {\ $bin {K$ $D_{k}$ 서 $({$ 는 $D_k$ $차수$ k $({displaystyle$ k $k$ 의 탈선 횟수입니다.

길버트-바르샤모프 경계는 매우 잘 알려진 ^[7]상한이며, 지금까지 d ${displaystyle$ d $d$ 의 작은 값에 대한 다른 경계를 능가합니다.

정리 1: ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ - ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ D ( ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ) ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ≤ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ( ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ) ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ≤ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ∑ ▁ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ▁k k ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ = 0 ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ [ ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ - ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ] ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ D ( ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ k ${\frac {n!}{\sum _{k=0}^{d-1}|D(n,k)|}}\leq M(n,d)\leq {\frac {n!}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}]}|D(n,k)|}}$ ) ${\frac {n!$ $}{\sum _{k=0}^{d-1} D(n,k) }\leq M(n,d)\leq {frac {n!$ $}{\sum _{k=0}^{[{\frac {d-1}{2}}}} D(n,k) }}}$

다음 정리에서 $d=4$ 수 있듯이 d $=$ 4 { $displaystyle$ d = $d=4$ 4}의 $d=4$ ^[7] 경우에 대해 개선되었습니다.

정리 2 $k\geq 2$ 만약 $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ $k\geq 2$ $≥$ $2$ 에 $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ k $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ ≤ $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ ≤ $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ 2 $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ + $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ - $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ 2 \ \ \ \ $displaystyle$ k $^{$ $2}$ \ $leq$ $n$ $\leq$ k $^{$ 2 $}$ + $k-2$ 라면 $k^{2}\leq n\leq k^{2}+k-2$ ,

${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ 4 ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ + ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ - ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ - 1 ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ - ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ k ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ 2 ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ + 2 ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ( ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ + 2 ) (k ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) ( $k$ - 1 ) - ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ ) \ \ displaystyle ${{frac {$ n $($ n ${\frac {n!}{M(n,4)}}\geq 1+{\frac {(n+1)n(n-1)}{n(n-1)-(n-k^{2})((k+1)^{2}-n)((k+2)(k-1)-n)}}$ + 1 $)}}$ \ $geq$ 1 $+{\frac$ {( $n+1)$ n $(n-1$ 2(k)- $2($ k)-2 $(k$ )-1)-2)-2(k)-2(

n ${displaystyle$ n $}$ $d$ d ${displaystyle$ d $d$ 의 작은 값에 대해, 연구자들은 몇 가지 규정된 자동 변형이 있는 순열 코드를 직접 찾기 위해 다양한 컴퓨터 검색 전략을 개발했습니다.

기타 한계

순열 코드에는 여러 가지 경계가 있습니다. 여기에 두 가지를 나열합니다.

길버트-바르샤모프 경계 개선

위에서 이미 논의된 길버트-바르샤모프 경계에 대한 개선이 수행되었습니다.특정 그래프에서 순열 코드와 독립 집합 사이의 연결을 사용하면 코드 길이가 무한대가 될 때 $\log(n)$ 로그 $\log(n)$ ( $\log(n)$ ) {\ $displaystyle \log(n$ 에 의해 점근적으로 길버트-바르샤모프 경계를 개선할 수 있습니다.^[9]

G $G(n,d)$ ( $G(n,d)$ ) {\ $displaystyle G($ $n, d)}$ 가 $G(n,d)$ $\Gamma (n,d)$ $,$ 케일리 그래프 $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ ( $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ : $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ $S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)$ $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ ( $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ S ( $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ d - $\Gamma (n,d):=\Gamma (S_{n},S(n,d-1))$ $S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)$ \ $Gamma$ $\Gamma (n,d)$ ( $N$ $S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)$ d) : \Gamma $($ S_ ${$ $S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)$ , d) $S(n,k):=\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i)$ $)$ 에서 동일성의 근방에 의해 유도된 부분 그래프를 나타낸다고 $G(n,d)$ . $표시 스타일$ = $\bigcup _{i=1}^{k}D(n,i$

$m(n,d)$ ( $m(n,d)$ d $m(n,d)$ ) { $displaystyle$ $m(n,$ d)}이 $m(n,d)$ (가) $G(n,d)$ G $(n,$ 의 최대 차수를 나타내도록 $m(n,d)$ .

$m'(n,d)=m(n,d)+1$ 3: m $m'(n,d)=m(n,d)+1$ ( $m'(n,d)=m(n,d)+1$ $m'(n,d)=m(n,d)+1$ $=$ ( $m'(n,d)=m(n,d)+1$ $m'(n,d)=m(n,d)+1$ + $m'(n,d)=m(n,d)+1$ {\ $displaystyle$ m $'(n,$ d)= $m(n, d)+1}$ 및 $m'(n,d)=m(n,d)+1$

$M_{IS}(n,d):=n!\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{\frac {1}{m'(n,d)}}{m'(n,d)+[\Delta(n,d)-m'(n,d)]t}dt}dt$

$M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ M ( $M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ d) $M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ $M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ $M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ $M(n,d)\geq M_{IS}(n,d)$ \ $displaystyle$ M( $n, d$ )\ $geq$ M_ ${IS}(n, d)}$

여기서 $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ ( $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ k = $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ - $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ ( $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ k) $\Delta (n,d)=\sum _{k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k}$ {\ $displaystyle \Delta (n,$ d)=\ $sum$ _ ${k=0}^{d-1}{\binom {n}{k}}D_{k$

길버트-바르샤모프 경계는 M $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ ( $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ d) $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ ) $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ ! $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ + $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ ( $M(n,d)\geq M_{GV}(n,d):={\frac {n!}{1+\Delta (n,d)}}$ $)$ \ \ \ $displaystyle$ M $(n, d)$ \ $geq$ M_ ${GV}(n, d):$ $=nbfrac {n!$ $}{1+\Delta (n,d)}}}$

정리 4: d ${displaystyle$ d $}$ 가 $d$ 고정되고 ${displaystyle$ n $}$ 이 $n$ 무한대에 해당하면, $d$ 는 다음과 같이 됩니다.

$표시{\style{M_{IS}(n,d)}{M_{GV}(n,d)}=\Omega(\log(n))}$

선형 코드를 사용한 하한값

[ $[n,k,d]_{q}$ $[n,k,d]_{q}$ $[n,k,d]_{q}$ {{ $displaystyle [n, k, d]_{q}$ 선형 $[n,k,d]_{q}$ 블록 코드를 사용하면 $최소$ $거리$ d {\ $displaystyle$ d $}$ 및 $d$ 큰 ^[10]카디널리티를 갖는 도n { $displaystyle$ n $n$ 대칭 그룹에 순열 코드가 존재함을 증명할 수 있습니다.순열^[10] 코드의 길이와 거리의 특정 체제에서 점근적 개선을 제공하는 순열 코드의 하한이 아래에서 논의됩니다. $S_{n}$ $Sn{{$ $\mathrm {K}$ }의 주어진 부분집합 $\mathrm {K}$ K ${$ $displaystyle$ $\mathrm {K}$ \mathrm { $K}$ 에 $\Kappa$ $M(\mathrm {K} ,d)$ , 우리는 M $M(\mathrm {K} ,d)$ d $){\displaystyle$ M $(\mathrm {K},$ } $M(\mathrm {K} ,d)$ K $M(\mathrm {K} ,d)$ ${$ 에 $\mathrm {K}$ 완전히 $\mathrm {K}$ 된 최소 $거리$ d ${displaystyle$ d $}$ 이상의 $d$ 순열 코드의 최대 카디널리티.

$M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ ( $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ ) $=$ { $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ : $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ K $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ ( $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$ $}$ {\ $displaystyle$ M $(\mathrm {K},$ d)= $max\{\Gamma :\gamma \mathrm {K},$ d $(\Gamma )\geq$ d $M(\mathrm {K} ,d)=max\{|\Gamma |:\Gamma \subset \mathrm {K} ,d(\Gamma )\geq d\}$

정리 5: d $,$ $k,$ ${$ $displaystyle$ d $,$ $k$ $, n$ }을 $d,k,n$ $0<k<n$ 0 $0<k<n$ < $0<k<n$ < $0<k<n$ \ $displaystyle$ 0 < k < $n$ 및 $1<d\leq n$ < $1<d\leq n$ { d \ $leq$ n $1<d\leq n$ 과 같은 정수로 $하자$ . 게다가 $q$ { \ $displaystyle$ q}를 $q$ 소수로 $하고$ s $, r$ {\d $style$ , $r}$ n $s,r$ $=$ + $n=qs+r$ {\ $displaystyle$ n = $qs+r}$ $0\leq r<q$ $0\leq r<q$ ≤ $0\leq r<q$ r < $q$ {{ $displaystyle$ $[n,k,d]_{q}$ 0 $\leq r$ < $0\leq r<q$ q $0\leq r<q$ 와 같은 양의 정수여야 합니다. [ $n$ , $[n,k,d]_{q}$ { $n,$ , $_{q}$ $C$ C {{ $displaystyle$ C $C^{\perp }$ } - C $⊥$ {{\ $perp}$ 가 $C^{\perp }$ 해밍 $가중치$ n {\ $displaystyle$ n $n$ 의 $C$ 코드 워드를 $C^{\perp }$ 한 다음

$displaystyle M(n,d)\geq({frac {n!M(\mathrm {K},d)}{(s+1)!^{r}s!^{q-r}q^{n-k-1}},}$

$\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ 서 K $=$ ( $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ ) $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ × ( $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ ) $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ q - $\mathrm {K} =(S_{s+1})^{r}\times (S_{s})^{q-r}$ {\ $displaystyle \mathrm {K}$ = ( $S_{s+1})^{r}\times$ ( $S_{s})^{q-r}}}$

필연적으로 1: 모든 소수 $q\geq n$ $q\geq n$ n \ $displaystyle$ q \ $geq$ n $q\geq n$ $2<d\leq n$ 2 < $≤$ $2<d\leq n$ $displaystyle$ 2 < $d$ \ $leq$ n $2<d\leq n$

$M(n,d)\geq {\frac {n!}{q^{d-2}}}$ $}{q^{d-2$

필연적으로 2: 모든 소수q{ $displaystyle$ q $q$ 에 대해, 3 $d$ 3 $<d<q$ 에 대해,

$M(q+1,d)\geq {\frac {(q+1)!}{2q^{d-2}}}$ $}{2q^{d-2$

레퍼런스

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[1] "Codes on Euclidean Spheres, Volume 63 - 1st Edition". www.elsevier.com. Retrieved 2022-09-20. 네덜란드 수학 도서관.North-Holland Publishing Co., 암스테르담, 2001.

[2] Slepian, D. (March 1965). "Permutation modulation". Proceedings of the IEEE. 53 (3): 228–236. doi:10.1109/PROC.1965.3680. ISSN 1558-2256. S2CID 124937273.

[3] Cameron, Peter J. (2010-02-01). "Permutation codes". European Journal of Combinatorics. 31 (2): 482–490. doi:10.1016/j.ejc.2009.03.044. ISSN 0195-6698.

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[5] Han, Hui; Mu, Jianjun; He, Yu-Cheng; Jiao, Xiaopeng; Ma, Wenping (April 2020). "Multi-Permutation Codes Correcting a Single Burst Unstable Deletions in Flash Memory". IEEE Communications Letters. 24 (4): 720–724. doi:10.1109/LCOMM.2020.2966619. ISSN 1089-7798. S2CID 214381288.

[6] Chu, Wensong; Colbourn, Charles J.; Dukes, Peter (May 2004). "Constructions for Permutation Codes in Powerline Communications". Designs, Codes and Cryptography. 32 (1–3): 51–64. doi:10.1023/b:desi.0000029212.52214.71. ISSN 0925-1022. S2CID 18529905.

[:0-7] Gao, Fei; Yang, Yiting; Ge, Gennian (May 2013). "An Improvement on the Gilbert–Varshamov Bound for Permutation Codes". IEEE Transactions on Information Theory. 59 (5): 3059–3063. doi:10.1109/tit.2013.2237945. ISSN 0018-9448. S2CID 13397633.

[8] Smith, Derek H.; Montemanni, Roberto (2011-08-19). "A new table of permutation codes". Designs, Codes and Cryptography. 63 (2): 241–253. doi:10.1007/s10623-011-9551-8. ISSN 0925-1022. S2CID 207115236.

[9] F. Gao, Y. Yang 및 G. Ge, 정보 이론에 관한 IEEE 거래, vol. 59, no. 5, 페이지 3059-3063, 2013년 5월, doi: 10.1109/IT. 2013.2237945.

[:1-10] G. 미켈리와 A.네리, 정보 이론에 관한 IEEE 거래에서 "선형 블록 코드를 사용하는 순열 코드에 대한 새로운 하한", vol. 66, no. 7, 페이지 4019-4025, 2020년 7월, doi: 10.1109/TIT. 2019.2957354.

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