궤도안정성

수학적 물리학과 부분 미분방정식의 이론에서${\displaystyle }u{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) = e -${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle }$x )${\displaystyle u(x,t)=e^{-i\omega$ t$}\$$phi(x)}$ 형식의 단독파 용액은 $\varphi$${\displaystyle }$($)$에 충분히 가까운 초기 데이터를 가진 용액이 영원히 남아 있으면 궤도적으로 안정적이라고 한다$$.$e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{i\Omega }}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle e^{-i\omega t}\phi (x)}$의 궤적에 대한 지정된 작은 인접 지역에서$.$

형식 정의

형식적인 정의는 다음과 같다.^[1]동적 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle i{\frac {du}{dt}=A(u),\qquad u(t)\in X,\quad t\in \mathb {R},}$

with ${\displaystyle X}$ a Banach space over ${\displaystyle \mathbb {C} }$, and ${\displaystyle A:X\to X}$. We assume that the system is ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$-invariant, so that ${\displaystyle A(e^{is}u)=e^{is}A(u)}$ for any ${\dis$$Playstyle u\in X}$ 및$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$

${\displaystyle \Omega }$ =${\displaystyle A}$ (${\displaystyle \varphi }$ ) ${\displaystyle \omega \phi$= A$(\phi )}$을$($를) 가정하여 $u{\displaystyle (t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle u(t)=e^{-i\omega$ t$}\phi}}}}$이 역동적인 시스템에 대한 해결책이라고$$ 가정해 보자.우리는 그러한 해결책을 외로운 물결이라고 부른다.

우리는 어떠한 v는 고립파 e− 나는 ω tϕ{\displaystyle e^{-i\omega지}\phi}은 궤도로 안정적인 경우ϵ>에 0{\displaystyle \epsilon>0}이δ>0{\displaystyle \delta>0} 있도록‖ϕ − v0‖ X<>로 0∈ X{\displaystyle v_{0}\in X};δ{\displaystyle \Vert 말한다. \phi -v_{0}\Ver${\displaystyle \mathrm{t}}$ $_{X}<\delta }$ 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle t\geq$ 0${\displaystyle \}}$에 대해 $정의$된 솔루션 v${\displaystyle }$( t$) {\$$displaystyle v(0)=v_{0}$이$($가) 충족되도록 ${\displaystyle {하는\mathrm{}}_{}}$ $솔루션{\displaystyle }$ v (${\displaystyle \mathrm{t}}$ )가 있음

${\displaystyle \sup _{t\geq 0}\inf _{s\in \mathb {R}}\Vert v(t)-e^{is}\phi \Vert _{X}<\epsilon .}$

예

에 ^[3]따르면 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한$$ 단독파 솔루션 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{i\Omega }}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ e$^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}$

${\displaystyle i{\frac {\frac}{\propert t}u=-{\frac {\property ^{2}}:{\preas x^{2}}u+g\!\left(u ^{2}\오른쪽)u,\qquad u(x,t)\in \mathb {C},\quad x\in \mathb {R},\quad t\in \mathb {R},}$

여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 원활한 실제 값 함수로서, Vakhitov-Kolokolov 안정성 기준을 만족하면 궤도적으로 안정적이다.

${\daystyle {\frac {d}{d\omega}Q(\phi _{\omega })<0,}$

어디에

${\displaystyle Q(u)={\frac {1}{1}:{2}}\int _{\mathb {R} u(x,t) ^{2}\,dx}$

솔루션 $u{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(x,t)}$의 충전으로$,$ 시간 내에 보존된다(적어도 솔루션$$ $u{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaysty u(x,t)}).$

이것은 또한 shown,[4][5]는 만약 d dω Q(ω)<0{\textstyle{\frac{d}{d\omega}}Q(\omega)<. 0}일 경우에 특정 값의 ω{\displaystyle \omega}, 다음 고립파 e− 나는 ω지 ϕω()){\displaystyle e^{-i\omega지}\phi _ᆲ())}은 랴푸 노프 안정적인과 함께 랴푸 노프 기능에 의해서 L(. ux=E(u${\displaystyle L(u)=E(u)-\omega Q(u)+\Gamma (Q(u)-Q(\phi _{\omega }))^{2}}$, where ${\displaystyle E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left(\left {\frac {\partial u}{\partial x}}\right ^{2}$$+G\!\left( u ^{2}\right)\right)dx}$ is the energy of a solution ${\displaystyle u(x,t)}$, with ${\textstyle G(y)=\int _{0}^{y}g(z)\,dz}$ the antiderivative of ${\displaystyle g}$, as long as the constant ${\displaystyle \Gamma >0}$ is chosen sufficiently large.

참고 항목

• 안정성 이론
  • 점근안정성
  • 선형안정성
  • 랴푸노프 안정성
  • 바키토프콜로콜로프 안정성 기준

참조