Object이론

그것은 이 기사를 언어로 통합되어야 한다고 제안해 왔다. (토론)8월 2021년부터 제시된.

이 기사는 아마도 독창적인 연구가 포함되어 있습니다.제발, 인라인 인용 추가하는 것은 주장 만들어 확인함으로써 그것을 개선.진술만 독창적인 연구로 구성된 제거해야 한다. (2020년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수리 논리학에서 객체 이론은 이론 물체와 개체에 대해 이루어질 수 있는 발언이다.

그들이 "시스템[그들이 나타나는]의 관계를 통해서만으로 잘 알려 진 몇몇 경우"개체"구체적으로의 상징의 상징과 문자열, 4-symbol 알파벳{←, ↑, →, ↓}에서 구성된 여기 4기호들이 문자열로"←←↑↓←→←↓"설명되다. 생각할 수 있는 시스템[의무가 있다고 말했다]추상은... 개체를 무엇인지, 어떠한 관점은 어떻게 그들이 구조에 속하는 것보다 다른,에 unspecified."(Kleene 1952년:모델이나 추상적 시스템의 표현의 개체는 결과의 25cm추가적인 규격,"i.e고well"( 같은 책에서)로 추가적인 지위를 가지고 있을 추상적 시스템의 관계를 충족하는 개체의 시스템이 남아 있다.

이 일반적인 감각에 있는 개체의 O 시스템 수집이다"){o1, o2은...에서... }그리고 관계 r이나 관계를 r1, r2이...사이에 rn(의 명세서를).

예제:){{←, ↑, →, ↓}, ∫}그 물건들 사이에는 매우 단순한 관계로 기호 ∫:[1]에 의해 상징하였다를 위한 단순한 시스템이다.

∫→ =>, ↑,∫↑ =>, ←,∫← =>, ↓,∫↓ =>, →

우리가=2←, ↓)3. 여기, ∫은"지정 함수"을 나타내는 상징(종종 생략 부호'로 +와 구분하기 위해)만 4개체의 컬렉션에 운영,기 위해서는 예를 들어 기호, 잘 알자연수{0,1,2,3},{←, ↑, →, ↓}, 이런 식으로 즉:→=0으로,↑=1,를 배정해 줘 이 시스템의 모델은 발생할 것Hus 0'=1,1'=2,2'=3,3'=0.

또는 ∫은 단순한 물체의 시계 반대 방향으로 90도 회전을 나타낸다고 명시할 수도 있다 → .

유전적 대 자명적 방법

다음은 어떤 시스템에서 사물을 만드는 유전적 또는 건설적 방법의 예로서, 다른 하나는 자명적 또는 포물적 방법이다. Kleene은 유전적 방법은 시스템의 모든 대상을 "생성"하기 위한 것이며, 따라서 "시스템의 추상적 구조를 완전히 결정"하고 독특하게 (따라서 시스템을 분류적으로 정의한다)고 말한다. 유전적 방법보다는 공리를 사용한다면 그러한 공리 집합은 범주형이라고 한다.^[2]

위의 ∫ 예와 달리, 다음은 무한히 많은 객체를 생성한다. O는 집합이고, □는 O의 요소이며, ■는 연산이라는 사실은 처음부터 명시되어야 한다. 이는 메타테오리의 언어로 행해지고 있다(아래 참조).

계통(O, □, ■ □, ■ □, ■□, ■■□, ■ ■■ ■□, ■ ■■ ■□, ■■■ ■□, ■■■ ■□ □■, …, ■□ⁿ 등)을 기준으로 한다. }

약어

■□ⁿ개체는 일단 "공식적으로" 만들어진 물체의 폄훼를 단순화하는 방법인 "약칭"의 사용과 그에 대한 논의를 보여준다. 올바르게 수행하면 정의는 다음과 같이 진행된다.

■□ □ ≡ ■□¹ ■ ■ ■ ²■ ■ ■ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □³ 등, etc ≡의 개념은 ≡("로 정의")와 "숫자"의 개념을 메타토리에서 직관적으로 이해하도록 전제하는 경우.

쿠르트 괴델 1931은 이 전술을 사용하여 자신의 불완전성 이론의 전체 증거를 사실상 구성했다(실제로 그는 정리 4를 증명하고 정리 XI의 증거를 스케치했다). 그의 공리에서는 대체, 결합, 모더스 폰의 추론을 사용하여 45개의 "정의"(더 정확한 정의 또는 정리)를 생산했다.y) 공리에서부터.

좀 더 친숙한 전술은 아마도 이름이 주어진 서브루틴의 설계일 것이다. 예를 들어, 엑셀에서 서브루틴 " =INT(A1)"는 셀 A1에서 찾은 정수(예: 셀 B1)를 입력하는 셀로 되돌아가는 서브루틴 " =INT(A1)"이다.

모델

위의 예제의 모델은 왼쪽 끝 사각형에 고정된 "머리"가 있는 왼쪽 끝 포스트-튜링 머신 테이프로, 시스템 관계는 "왼쪽 끝에 새 사각형 □에 고정하고 테이프를 오른쪽 편향한 다음 새 사각형에 ■ 인쇄"와 같다. 또 다른 모델은 "처리기" 함수에 의해 생성된 자연적인 숫자다. 두 시스템의 물체(예: □, ■□, ■ ■ ■, ■■ ■, ■■■……)와 (0, 0′, 0′′, 0′′, 0′′, 0′′, ■′′, ...)를 1-1의 대응으로 넣을 수 있기 때문에, 이형체(단순히)라고 한다. 그러나 또 다른 이형동체 모델은 카운터 기계에 대한 지시의 작은 순서다. 예: "(1) 구멍을 파라. (2) 구멍에 조약돌을 던져라. (3) 2단계로 가라."

그들의 물체가 일대일 대응("관계를 보존하는 동안") 모델에 배치될 수 있는 한, 그들의 물체가 어떻게 생성되든 간에(예: 유전학적으로 또는 자명적으로) "동등한" 것으로 간주될 수 있다.

"단순히 두 개의 이형체계는 둘 중 어느 하나로부터 추상화하여 얻은 동일한 추상체계의 표현[모형]을 구성하는데, 즉 추상체계에 대해 고려할 것을 제외한 모든 관계와 성질을 배제함으로써 얻는다."(Kleene 1935:25)

암묵적 가정, 암묵적 지식

경고 판독기는 표시된 사각형(즉, ■)을 기존 문자열에 연결하여 기호 □, ■□, ■ ■□, ■■□□ 등을 쓰는 것이 튜링 머신 테이프에 완성된 기호를 차례로 쓰는 것과 다르다는 것을 알아차렸을 수 있다. 전적으로 가능한 또 다른 시나리오는 다음과 같은 세 가지 기호 후, 예를 들어, 테이프의 서로 다른 섹션에 기호 스트링을 차례로 생성하는 것이다. 이 두 가지 가능성이 다르다는 증거는 쉽다: 그들은 다른 "프로그램"을 필요로 한다. 그러나 어떤 의미에서 두 버전 모두 동일한 객체를 생성하며, 두 번째 경우에는 객체가 테이프에 보존된다. 같은 방법으로, 만약 어떤 사람이 0을 쓰고, 그것을 지우고, 같은 장소에 1을 쓰고, 그것을 지우고, 2, 지우고, 애드 인피니텀을 쓴다면, 그 사람은 마치 0 1 2 3을 적는 것처럼 똑같은 물체를 만들어 내고 있는 것이다. 종이 위에 오른쪽의 기호를 하나씩 쓰면서 말이다.

Once the step has been taken to write down the symbols 3 2 1 0 one after another on a piece of paper (writing the new symbol on the left this time), or writing ∫∫∫※∫∫※∫※※ in a similar manner, then putting them in 1-1 correspondence with the Turing-tape symbols seems obvious. '원산지'에 있는 구멍부터 차례로 파고, 그 다음에 한 개의 조약돌이 들어 있는 왼쪽에 구멍을 뚫는 것, 그리고 그 안에 두 개의 조약돌이 들어 있는 왼쪽에 구멍을 뚫는 것, ad infinitum은 실용적인 의문을 제기하지만, 추상적으로 보면 그것 역시 같은 1-1 통신에 도움이 되는 것으로 볼 수 있다.

그러나 유전적 대 자명적 방법의 정의에 있어서 특별히 이것을 정리하는 것은 없다. 이러한 문제들은 메타테오리에서 논의되어야 할 사안들이다. 수학자나 과학자는 엉성한 규격에 대해 책임을 져야 한다. 브레거는 자명적인 방법은 특히 "인간의 노하우"(브레거 2000:227)와 관련된 종류의 암묵적 지식, 즉 암묵적 지식의 영향을 받기 쉽다고 경고한다.

형식 체계

일반적으로 수학에서 형식 체계 또는 "형식 이론"은 구조에서 "객체"로 구성된다.

• 연결될 기호(접합)
• 기호와 기호의 조립체를 어떻게 (예: 순서)로 형성해야 하는지를 지시하는 형성 규칙(완전하게 명시됨, 즉 구문의 형식 규칙)이 "잘 형성된" 패턴(예: 기호를 왼쪽에서 결합할 수 있음)이다.d만, 오른쪽 끝에만, 또는 양쪽 끝이 동시에? 기호 모음을 대상 기호 문자열의 아무 곳에나 나타날 수 있는 하나 이상의 기호로 대체할 수 있는가?
• 구성 규칙에 따라 잘 구성된 "제안"("주제" 또는 주장 또는 문장이라고 함)
• 앞에서 기술하고 "정의 불가능한 개념"을 포함할 수 있는 몇 가지 공리(예: 집합 이론에서 "set", "element", "beling", 숫자 이론에서 "0" 및 "(successor)"),
• 하나 이상의 공리 및/또는 명제에서 다른 명제로 넘어갈 수 있는 적어도 하나의 연역적 추론 규칙(예: 모드스 폰)

비공식적 이론, 목적론, 메타테오리

메타테오리는 형식화된 객체 이론, 즉 무의미한 기호와 관계 그리고 (잘 형성된) 기호의 끈 밖에 존재한다. 메타테리어는 "직관적" 개념과 "일반적 언어"를 사용하여 이러한 무의미한 개체에 대한 (설명, 해석, 설명)을 한다. 객체 이론과 마찬가지로 메타테리어는 아마도 준형식 그 자체라도 단련되어야 하지만, 일반적으로 사물과 규칙의 해석은 형식적이기보다는 직관적이다. 클렌은 메타테오리의 방법(적어도 변성술의 목적을 위해)이 유한하고, 상상할 수 있으며, 수행가능할 것을 요구한다. 이러한 방법들은 완성된 무한대에 어필할 수 없다. "존재 증명서는 최소한 암묵적으로 존재 증명되고 있는 사물을 구성하는 방법을 주어야 한다."(^[3]64쪽)

클렌은 이것을 다음과 같이 요약한다: "전면적인 그림에는 세 개의 분리되고 뚜렷한 "신앙"이 있을 것이다.

"(a) 형식 시스템이 형식화를 구성하는 비공식 이론

"(b) 형식 체계나 객체 이론, 그리고

"(c) 형식 시스템이 기술되고 연구되는 메타테리오리" (p. 65)

그는 이어 "객체론 (b)은 관습적인 의미에서 "이론"이 아니라 "기호와 (c)에서 기술된 (c)로 만들어진 물체의 체계"라고 말한다.

형식체계 개념의 확대

잘 형성된 객체

만약 물체의 집합(기호 및 기호 순서)을 "잘 형성된" 것으로 간주하려면, "예" 또는 "아니오" 대답으로 중단하여 물체가 잘 형성되었는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재해야 한다(수학에서 wff는 잘 형성된 공식을 완화한다). 극단적으로 이 알고리즘은 테이프에 "데이터"로 표시된 기호 문자열을 "파싱"하는 튜링 기계 또는 튜링 등가 기계를 필요로 할 수 있다. 범용 튜링 기계가 테이프에 명령을 실행하기 전에, 그것은 반드시 기호를 구문 분석하여 거기에 인코딩된 명령의 정확한 특성 및/또는 데이텀을 결정해야 한다. 더 간단한 경우, 유한 상태 기계나 푸시다운 자동화가 그 일을 할 수 있다. Enderton은 논리 공식(특히 괄호가 있는 기호 문자열)이 잘 형성되어 있는지 여부를 결정하기 위해 "tree"의 사용을 설명한다.^[4] 알론조 교회 1934는^[5] 공식을 시작한 다음 결합과 치환을 사용하여 시작 심볼 위에 쌓는 방법에 대한 반복적 설명을 사용하여 λ-미적분법에 쓰여진 "공식" (again: 기호 순서)의 구성을 설명한다.

예: Church는 그의 λ-미적분을 다음과 같이 명시했다(다음은 자유변수와 한계변수의 개념을 배제한 단순화된 버전이다). 이 예는 기호와 관계의 객체 시스템의 사양(특히 기호의 결합에 의한)으로 객체 이론이 어떻게 시작되는지를 보여준다.

(1) 기호를 다음과 같이 선언한다: {, }, (, ), ], [, ]와 더불어 변수 a, b, c, ..., x, ...

(2) 공식 정의: 기호 순서의 정의

(3) "basis"(3.i)로 시작하는 "잘 형성된 공식"(wff)의 개념을 재귀적으로 정의한다.

• (3.1) (basis) 변수 x는 wff이다.
• (3) F와 X가 wffs이면 {F}(X)이 wff이고, X가 F나 X에서 발생하면 {F}(X)에서 변수라고 한다.
• (3) M이 잘 형성되어 있고, m에서 x가 발생한다면, xx[M]는 wff이다.

(4) 다양한 약어를 정의한다.

• F가 단일 기호인 경우 {F}[X]이(가) F(X)로 축소됨
• ${\displaystyle }$F${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$[ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle {{F}[X]}[Y]}$이(가) {F}(X,Y) 또는 F(X,Y)로 축소됨$$
• λx₁λx₂[...λx_n[M]...]는 λxx로₁₂ 축소된다.x_n•M
• λab•a(b) 1로 축소
• λab•a(a(b))는 2로 축소한다.

(5) M 전체에^[6] 걸쳐 변수 x에 대한 공식 N의 "위헌" 개념을 정의한다(1936년 교회)

정의되지 않은(기본) 개체

어떤 물체는 공리의 도입에 의해 "정의되지 않음" 또는 "원시적"으로 정의될 수 있으며 (그들의 행동의 측면에서) 정의를 수신할 수 있다.

다음 예에서 정의되지 않은 기호는 { ※, ↀ, ∫ ∫ }이(가) 될 것이다. 그 공리들은 그들의 행동을 설명할 것이다.

공리

Kleene은 공리가 (i) 정의되지 않은 또는 원시적인 개체와 이전에 알려진 개체들의 두 세트의 기호로 이루어져 있다고 관찰한다. 도메인에서(O※, ↀ, ∫)그 O개체(그"도메인")의 집합을 구성하는 다음 예에서는 이전에 다음과 같은 계통에서 알려진, 닷컴의 물체, 물건들은 => 사이의 관계에 그리고 ∫ↀ 상징이다;"그 다음 만약"논리 연산자,"은 세트의 요소 O"을 나타내ε은 상징이고,"n"를 의미한다. 우리객체 집합 O의 임의적 요소를 나타내는 ed.

(i) "문자 S"의 정의—기호 ※ 또는 연결 기호인 객체 ※, ※, ↀ 또는 ∫. (ii) "잘 형성된" 문자열에 대한 정의 -- (basis) ※과 whereS, S가 임의의 문자열인 경우, 다음과 같은 공리가 온다.

• ↀ※ => ※, 말 그대로: "물체에 ↀ을 적용하면 ※ DEN 물체 ※ 결과."
• ∫n ε O, 말로 "O에서 임의의 개체 "n"에 ∫이 적용되는 경우, 이 개체 "∫n"은 "O"의 요소다.
• ↀn ε O, "IF ↀ이 O에서 임의의 개체 "n"에 적용되는 경우, 이 개체 ↀn은 O의 요소"이다.
• ↀ∫n => n, "IF ↀ이 ∫n 객체에 적용되면 그 다음 객체 n 결과"
• ∫ↀn => n, "IF ∫이 ↀn 객체에 적용되면 그 다음 객체 n 결과"

그렇다면 이러한 기호, 정의, 공리의 (내용의) 해석은 무엇일까^[7]?

※를 "0"으로, ∫을 "successor"로, ↀ을 "predecessor"로 정의하면 then※ => ※는 "property 뺄셈"을 나타낸다(때로는 "predecessor"가 숫자에서 단위를 빼서 0 ∸1 = 0으로 지정하기도 한다). 문자열 " "n => n "은 임의의 개체 n에 먼저 후계자를 적용한 다음 선행 ↀ을 ∫n에 적용하면 원래 n 결과가 나온다는 것을 나타낸다.

이 공리 집합이 "적절한" 것인가? 적절한 답은 "무엇을, 특히 무엇에 대해 기술하기에 적절한가?" "공리는 이론 밖에서 정의한, 그 이론이 적용되는 시스템을 결정한다." (Kleene 1952:27)는 질문일 것이다. 즉, 공리는 한 시스템에는 충분하지만 다른 시스템에는 충분하지 않을 수 있다.

사실, 이 공리 집합은 그리 좋은 것이 아니라는 것을 쉽게 알 수 있다. 사실 일관성이 없다(즉, 어떤 해석이든 일관성이 없는 결과를 산출한다).

예: ※을 0으로, ∫※은 1로, ↀ1 = 0으로 정의한다. 첫 번째 공리에서 ↀ※ = 0, 따라서 so0 = 1로 정의한다. 그러나 마지막 공리는 ※ = 0, ∫n => n을 포함한 임의 n의 임의 n에 대해 ※ = 0, =>n => 0으로 규정하므로 이 공리는 1이 아니라 0으로 규정한다.

또한 공리 집합에 ∫n ≠ n. 또는 사례 n = ※, ↀn ≠ n. 이 두 공리를 포함하려면 ≠으로 상징되는 직관적 개념 "평등"과 ≠으로 상징되는 비균등(not equals)을 설명해야 할 것이다.

참고 항목

• 객체 언어

메모들

참조

• E. Groshoz and H. Breger (eds.) 2000, The Growth of Mathematical Knowledge, 221-230. 클루워어 학술 출판사. 네덜란드 도드레흐트. ISBN0-7923-6151-2
• Alonzo Church 1936 초기 수 이론의 풀 수 없는 문제 마틴 데이비스 1965년에 다시 출판된 The Undistableabled, The Raven Press, New York. ISBN 없음.
• 허버트 B. Enderton 2001, 수학 논리의 도입: Second Edition, Harcort Academic Press, Burlington MA. ISBN 978-0-12-238452-3.
• 스티븐 C. 클레네 1952년, 제6회 1971년, 제10회 인상 1991년, 노스홀랜드 출판사, 암스테르담 NY, ISBN 0-7204-2103-9.