정상 함수

Normal function

자명 세트 이론에서 f : Ord → Ord 함수(또는 정상 함수)는 연속(순서 위상에 관한 것)이고 엄격히 단조롭게 증가하는 경우에만 정상 함수(또는 정상 함수)라고 한다.이는 다음과 같은 두 가지 조건에 해당한다.

  1. 모든 한계 서수 γ(즉, γ은 0도 아니고 후계자도 아니다), f(γ) = sup{f(ν) : ν < γ}.
  2. 모든 서수 α < β, f(α) > f(β)에 대하여.

예

단순한 정규 함수는 f(α) = 1 + α로 주어진다(서수 산술 참조).그러나 f(α) = α + 1은 정상적이지 않다. 어떤 한계에서도 연속적이지 않다.β가 고정 서수인 경우 함수 f(α) = β + α, f(α) = β × α(β β 1의 경우), f(α) = βα(β β 2)는 모두 정상이다.

정상 함수의 보다 중요한 예는 서수와 기수를 연결하는 에일프 수 ) = = = α = α =\displaystyle f 베스 f )= α = α 스타일 f(\ ) =\

특성.

f가 정상이면, 임의의 서수 α에 대해,

f(α) α.[1]

증명: 만약 그렇지 않다면, f( <) < γ. f는 엄격히 단조롭게 증가하므로 f(f) < f(γ)>는 γ의 최소성과 모순되게 된다.

게다가, 어떤 비빈 세트의 서수 S에 대해서도, 우리는

f(sup S) = supp f(S).

증거: f의 단조로움과 우월감의 정의에서 '추상'이 따르게 된다."δ"의 경우 Δ = Sup S를 설정하고 다음 세 가지 경우를 고려하십시오.

  • Δ = 0이면 S = {0} 및 supp f(S) = f(0);
  • 만일 Δ = Δ + 1이 후계자라면, S에 Δ < s가 존재하므로 Δ s s가 있다.따라서 f(Δ) ∆ f(s), 즉 f(Δ) ∆ supp f(S)를 내포한다.
  • Δ가 0이 아닌 한계인 경우, Δ < Δ를 선택하고, S에서 s를 Δ < s (Δ = Supp S 이후 가능)로 선택한다.따라서 f(ν) < f(s) > f(s) > supp f(S) = sup( Δ) = sup {f( {) : ν < Δ} ≤) s.

모든 정상 함수 f는 임의로 큰 고정점을 가지고 있다. 교정하려면 고정점 보조정리기를 참조하라.정상 함수 f'를 만들 수 있다 : Ord → Ord, f의 파생어로 불리는 f' (α)가 f의 α번째 고정점인 것처럼 말이다.[2]

메모들

  1. ^ Johnstone 1987, 연습 6.9, 페이지 77
  2. ^ Johnstone 1987, 연습 6.9, 페이지 77

참조

  • Johnstone, Peter (1987), Notes on Logic and Set Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33692-5.