정규 분포 변환

정규분포변환(NDT)은 Tübingen 대학에서 작업하던 2003년에 Peter Biber와 Wolfgang Straerer에 의해 도입된 포인트 클라우드 등록 알고리즘입니다.

알고리즘은 먼저 부분 정규 분포를 첫 번째 점 구름에 연결하여 두 개의 점 구름을 등록합니다. 이 경우 주어진 공간 좌표에서 클라우드에 속하는 점을 샘플링할 확률이 높아집니다.그런 다음 변환 모수의 함수와 같은 분포에서 두 번째 점 구름의 가능성을 극대화하여 두 번째 점 구름을 첫 번째 점 구름에 매핑하는 변환을 찾습니다.

원래 동시 현지화 및 매핑(SLAM) 및 상대 위치 ^[1]추적에서 2D 포인트 클라우드 맵 매칭을 위해 도입된 이 알고리즘은 3D 포인트^[2] 클라우드까지 확장되었으며 컴퓨터 비전과 로봇 공학에 광범위하게 적용되었습니다.NDT는 매우 빠르고 정확하기 때문에 대규모 데이터에 적용하기에 적합하지만 초기화에 민감하기 때문에 초기 추측이 충분히 정확해야 합니다. 이러한 이유로 일반적으로 거칠고 미세한 정렬 ^[3]^[4]^[5]전략에 사용됩니다.

공식화

포인트 클라우드에 관련된 NDT 함수는 공간을 일반 셀로 분할하여 구성됩니다.각 셀에 대해 $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ n $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ x $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf { q$ } $= sum$ _ { $i$ } \ $sum$ _ { i } \ $mathbf$ { $x$ _ { $i$ $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ } $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ } 및 $\textstyle \mathbf {q} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {x_{i}}$ $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ S $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ n $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ ( $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ - $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ ) $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ - q ） $\textstyle \mathbf {S} ={\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)\left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q} \right)^{\top }$ \ displaystyle \ textbstyle \ $textbf$ { nf } } } ⊤ $the$ the the the the the the the the the the the the the the the \ syle \ sum $fractextb$ ${q}$ \ $right)$ \ $left(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {q}$ \ $오른쪽)^{\top$ }} $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ 1, $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ n{{ $displaystyle \mathbf {x} _{1},\$ displaystyle \ $mathbf {x}$ _ ${n}}}$ {n}}}의 $n$ $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}$ 셀에속합니다.셀 내 특정 공간 $\mathbf {x}$ x $(\$ 에서 $\mathbf {x}$ 점을 샘플링할 확률 밀도는 정규 분포로 구한다.

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

-

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

2 (

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

x -

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

)

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

S

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

-

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

(

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

x -

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

){

displaystyle

e^ { - { \

frac { }{

- \

right

} \

left

( \

mathbf

{ x

}

\

mathbf {q

} \ top } \

mathbf

{ S } ^ { S ^ { - 1

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

} \ lef } \

right

( \

mathbf }

e^{-{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)^{\top }\mathbf {S} ^{-1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {q} \right)}

} } （ \

mathbf }

두 점 구름은 회전 $\mathbf {R}$ R $(\displaystyle$ \mathbf $\mathbf {R}$ { $R})$ 과 $\mathbf {t}$ 변환 $벡터$ t $(\displaystyle$ \mathbf { $t})$ 를 사용하여 유클리드 $변환$ f(\ $displaystyle$ f $)$ 로 $f$ 매핑할 수 있습니다.

\displaystyle f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} =\mathbf {R} \mathbf {x} +\mathbf {t} }

두 번째 클라우드에서 첫 번째 클라우드로 매핑되며 회전각도와 변환 컴포넌트에 의해 파라미터화됩니다.

알고리즘은 첫 번째 포인트 클라우드의 NDT에 기초한 손실 함수와 관련하여 두 번째 클라우드를 첫 번째 클라우드에 매핑하는 변환 파라미터를 최적화하여 두 개의 포인트 클라우드를 등록하고 다음 문제를 해결합니다.

\displaystyle \arg \min _{\mathbf {R} ,\mathbf {t} \left \{-\sum _{i} \operatorname {NDT} \left (f_{\mathbf {R} ,\mathbf {x_i} \right} \} \ } \ } \ } \ } \ left ( \ right )

여기서 손실 함수는 두 번째 클라우드의 모든 점에 변환을 적용하고 변환된 각 $f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )$ $f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )$ $R,$ ( $f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )$ x $f_{\mathbf {R} ,\mathbf {t} }(\mathbf {x} )$ ), \mathbf ${t},\mathbf$ {t}(\mathbf ${x$ 에서 NDT의 값을 합산하여 얻은 부정 우도를 나타냅니다.손실은 부분적으로 연속적이고 미분 가능하며, 구배 기반 방법을 사용하여 최적화할 수 있다(원래 공식에서 저자는 뉴턴의 방법을 사용한다).

세포 이산화의 영향을 줄이기 위해, 기법은 공간을 여러 겹치는 그리드로 분할하고, 공간 방향을 따라 절반의 셀 크기로 이동하며, 각 ^[1]그리드에 의해 유도된 NDT의 합으로 주어진 위치에서 가능성을 계산하는 것으로 구성된다.

레퍼런스

^ ^a ^b (Biber & Straerer 2003)
^ (Magnusson 2009)
^ (동 등 2020)
^ (Li, Wang & Zhang 2021, 페이지 21-22)
^ (청 외 2018년, 페이지 10~11, 13)

원천

Biber, Peter; Straßer, Wolfgang (2003). "The normal distributions transform: A new approach to laser scan matching". Proceedings 2003 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS 2003)(Cat. No. 03CH37453). Vol. 3.
Cheng, Liang; Chen, Song; Liu, Xiaoqiang; Xu, Hao; Wu, Yang; Li, Manchun; Chen, Yanming (2018). "Registration of laser scanning point clouds: A review". Sensors. Multidisciplinary Digital Publishing Institute. 18 (5): 1641. Bibcode:2018Senso..18.1641C. doi:10.3390/s18051641. PMC 5981425. PMID 29883397.
Dong, Zhen; Liang, Fuxun; Yang, Bisheng; Xu, Yusheng; Zang, Yufu; Li, Jianping; Wang, Yuan; Dai, Wenxia; Fan, Hongchao; Hyyppä, Juha (2020). "Registration of large-scale terrestrial laser scanner point clouds: A review and benchmark". ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing. Elsevier. 163: 327–342. Bibcode:2020JPRS..163..327D. doi:10.1016/j.isprsjprs.2020.03.013. S2CID 216449537.
Li, Leihui; Wang, Riwei; Zhang, Xuping (2021). "A Tutorial Review on Point Cloud Registrations: Principle, Classification, Comparison, and Technology Challenges". Mathematical Problems in Engineering. Hindawi. 2021.
Magnusson, Martin (2009). The three-dimensional normal-distributions transform: an efficient representation for registration, surface analysis, and loop detection (Ph.D.). Örebro universitet.

외부 링크

"Register two point clouds using NDT algorithm". MathWorks.

[biberAndStraßer-1] (Biber & Straerer 2003)

[2] (Magnusson 2009)

[3] (동 등 2020)

[4] (Li, Wang & Zhang 2021, 페이지 21-22)

[5] (청 외 2018년, 페이지 10~11, 13)

[1]

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