다중 상관 계수

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통계에서 다중 상관 계수는 다른 변수 집합의 선형 함수를 사용하여 주어진 변수를 얼마나 잘 예측할 수 있는지를 나타내는 척도다.예측 변수에서 선형적으로 계산할 수 있는 것은 변수의 값과 최선의 예측 사이의 상관관계다.^[1]

다중 상관 계수는 0과 1 사이의 값을 취한다.값이 높을수록 독립 변수에서 종속 변수의 예측 가능성이 높음을 나타내며, 값이 1이면 예측이 정확하게 맞으며 값이 0이면 독립 변수의 선형 결합이 종속 변수의 고정 평균보다 더 나은 예측 변수가 되지 않음을 나타낸다.^[2]

다중 상관 계수는 결정 계수의 제곱근으로 알려져 있지만, 절편이 포함되고 가능한 최선의 선형 예측 변수가 사용된다는 특정한 가정 하에서 결정 계수는 비선형 예측과 tho를 포함한 더 일반적인 경우에 대해 정의된다.예측 값이 모형 적합 절차에서 도출되지 않은 경우.

정의

R로 표시된 다중 상관 계수는 절편을 포함하는 선형 회귀 모형에서 종속 변수의 예측 값과 실제 값 사이의 Pearson 상관 계수로 정의되는 스칼라이다.

연산

The square of the coefficient of multiple correlation can be computed using the vector ${\displaystyle \mathbf {c} ={(r_{x_{1}y},r_{x_{2}y},\dots ,r_{x_{N}y})}^{\top }}$ of correlations ${\displaystyle r_{x_{n}y}}$ between the predictor variables $$${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$독립 변수) 및 대상 변수 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}($종속 변수) 및 예측 변수 간의 상관$$ 행렬 ${\displaystyle R_{}}$ x ${\$그것은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle R^{2}=\mathbf {c}^{\\\top }R_{xx}^{-1}\,\mathbf {c},}$

여기서 $⊤{\$ {$c} ^{\top }}}$은(는) $c{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {c}}$의 전치물이고$,$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ x -${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$는 행렬의 역치물이다.

${\displaystyle R_{xx}=\left({\begin{array}{cccc}r_{x_{1}x_{1}:{1}x_{1}:{1}*_{1}x_{1}}}}}}{1}x_{1}}}}}}}}{1}x_{1}x_{1}x_}x_}x_{{}x_}x_}x_}x_}x_{1}x_}x_}x_N}\\\r_{x_{2}x_{1}x_{1}x_{1}x_{{n}x_{1}dots &\\\\r_{n}x_{1}:{n}x_{N}}}}}{n}}}}}\dots &&r_{narray}\ri}\rig}\오른쪽).}$

모든 예측 변수가 상관 관계가 없는 경우 행렬 ${\displaystyle R_{}}$ x ${\$ $R_$${xx}}$은(는) ID 행렬이고$$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$$displaystyle$ R$^{{}}{\top }\\mathbf {c}}}}$은(는) 단순히 $c{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ $⊤$ ${\displaystyle c}$와 같다$.$예측 변수가 서로 상관되어 있는 경우 상관 행렬 $R{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 역행렬이 이를 설명한다$$.

다중 상관 계수의 제곱 계수는 독립 변수로 설명되는 종속 변수의 분산 비율로 계산될 수 있으며, 이는 결국 1에서 설명되지 않은 분수를 뺀 값이다.설명할 수 없는 분수는 잔차의 제곱합, 즉 예측 오차의 제곱합으로 계산할 수 있으며, 기대값에서 종속 변수 값의 편차의 제곱합으로 나눌 수 있다.

특성.

세 개 이상의 변수가 서로 연관되어 있는 경우, 다중 상관 계수의 값은 $종속{\displaystyle }$ 변수의 선택에 따라 달라진다: x ${\displaystyle x}$ $및$ z$${\$displaystyle z}$의 회귀 $분석$은 일반적으로$R$ {\displaystyle $R}$과(와)의 회귀$$분석과는 다른 R {\$displaystystyle$ R}을$$ 갖는다.${\displaystyle }$$예$를 들어 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$의 z ${\displaystyle z}$ 변수가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y$$}$과$($와) 모두 상관 관계가 없는 반면$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ y$}$은 선형$$ r이라고 가정해 보십시오$.$서로 의기양양하여그러면 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ $및$ x ${\displaystyle$ x$}$에서 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$}$을(를) 회귀 분석하면 $R{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $R}$이(가) 0이$$ 되는$$ $반면{\displaystyle }$, x$${\$displaystyle$$x$} 및$$$z$}에서$y$ ${\$$displaystystylear$ R$}$이(가 엄격히$$ $양성됨).$ 다음과 같다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 기반한 최고의 예측 변수와$$ y ${\$$displaystyle y}$의 상관관계는 모든 경우에 최소한 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에만 기반한 최고의 예측 변수와 $y$ ${\displaystyle z}$ pr에$$ 기반한 상관관계만큼$$ 크므로 이 경우설명력을 배제하면 정확히 그만큼 클 것이다.

참조

추가 읽기

• 앨리슨, 폴 D. (1998년).다중 회귀 분석: 프라이머.런던: 세이지 출판사. ISBN9780761985334
• 코헨, 제이콥 등(2002).적용 다중 회귀 분석: 행동 과학에 대한 상관 분석.ISBN 0805822232
• 크라운, 윌리엄 H. (1998년).사회 및 행동 과학을 위한 통계 모델: 다중 회귀 분석 및 제한된 종속 변수 모형.ISBN 0275953165
• 에드워즈, 앨런 루이스(1985)다중 회귀 분석 및 분산 및 공분산 분석.ISBN 0716710811
• 키스, 티모시(2006)다중 회귀 분석 및 이상.보스턴: 피어슨 교육.
• 프레드 N. 케를링거, 엘라자르 J. 페다수르(1973년).행동 연구의 다중 회귀.뉴욕: 홀트 리네하트 윈스턴.ISBN 9780030862113
• 스탠튼, 제프리 M.(2001)통계교육저널 9 (3) "Galton, Pearson and the Feeds: 통계강사를 위한 선형 회귀의 간략한 역사"