다차원계

수학적 시스템 이론에서 다차원 시스템 또는 m-D 시스템은 하나의 독립 변수가 존재할 뿐만 아니라(시간과 같이) 여러 개의 독립적 변수가 존재하는 시스템이다.

m-D 시스템의 요인화와 안정성(m > 1)과 같은 중요한 문제들이 최근 많은 연구자와 실무자들의 관심을 끌고 있다.그 이유는, 예를 들어, 대수학의 근본 정리가 m-D(m > 1) 다항식의 링에 존재하지 않기 때문에, 1-D 시스템의 인수화와 안정성의 직접적인 확장이 아니기 때문이다.

적용들

다차원 시스템 또는 m-D 시스템은 바이오의학, X선 기술 및 위성 통신 분야에서 많은 응용이 있는 현대 디지털 이미지 처리에 필요한 수학 배경이다.^[1][2]m-D 시스템을 부분 미분 방정식(PDE)과 결합한 연구도 있다.

선형 다차원 상태 공간 모델

상태-공간 모델은 모든 "사전" 입력 값의 효과가 상태 벡터에 의해 포함되는 시스템의 표현이다.m-d 시스템의 경우, 각 치수는 해당 치수에 상대적인 이전 입력의 영향을 포함하는 상태 벡터를 가지고 있다.한 점에서 그러한 모든 치수 상태 벡터의 집합은 해당 지점의 총 상태 벡터를 구성한다.

공간 불변성 및 인과성이 있는 균일한 이산 공간 선형 2차원(2d) 시스템을 고려하십시오.그것은 다음과 같이 매트릭스 벡터 형태로 나타낼 수 있다.^[3][4]

Represent the input vector at each point ${\displaystyle (i,j)}$ by ${\displaystyle u(i,j)}$, the output vector by ${\displaystyle y(i,j)}$ the horizontal state vector by ${\displaystyle R(i,j)}$ and the vertical state vector by ${\displaystyle S(i,j)}$. Then the 각 지점에서의 작동은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aigned}}}$

where ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$ and ${\displaystyle D}$ are matrices of appropriate dimensions.

이 방정식은 행렬을 결합하여 보다 간결하게 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\y(i,j)\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}{\bgin{bmatrix}R(i,j)\S(i,j)\u(i,j)\end{bmatrix}}}}}}}$

각 지점 및 초기 상태 값에서$$ 입력 벡터 $u{\displaystyle (i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle u(i,j)}$가 주어진 경우, 위의 작업을 재귀적으로 수행하여 각 출력 벡터의 값을 계산할 수 있다.

다차원 전달 함수

A discrete linear two-dimensional system is often described by a partial difference equation in the form: ${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

여기서 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$, $){\displaystyle x(i,j)}$는 $입력$이고 y${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle y($$i,j$$)}$는 포인트$$ $({\displaystyle i}$,$){\$$displaystyle a_{p,q}}}$와 $p{\displaystyle {}_{,}}$$$${\displaystyle q_{}}$, ${\$는 일정한 계수다$$.

시스템에 대한 전달 함수를 도출하기 위해 2d Z-변환기를 위의 방정식의 양쪽에 적용한다.

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

트랜스포싱은 전송 함수 $T{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle T(z_{1},z_{2$

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

따라서 입력 값의 어떤 패턴이든 주어진 패턴의 2d Z 변환을 계산한 다음 전송 함수 $($ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$z ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ) $displaystyle T(z_{1},z_{2})$로 곱하여 시스템$$ 출력의 Z 변환을 생성한다.

2d 전송함수의 실현

종종 이미지 처리나 다른 md 연산 작업은 특정한 필터링 속성을 가진 전송 기능으로 설명되지만, 보다 직접적인 계산을 위해 상태 공간 형태로 변환하는 것이 바람직하다.이러한 변환을 전송함수의 실현이라고 한다.

다음과 같이 기술된 입력-출력 관계를 갖는 2d 선형 공간 불변 인과 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

개별적으로는 두 가지 경우를 1) 밑바닥의 합은 단순하게 상수 1 2) $상수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$ 사례 1은 흔히 "올 제로" 또는 "완성 임펄스 반응"이라고 하는데, 사례 2는 "전극" 또는 "무한 임펄스 반응"이라고 한다.일반적인 상황은 두 개의 개별 사례의 계단식으로 구현될 수 있다.사례 1에 대한 해결책은 사례 2보다 상당히 간단하며 아래에 나와 있다.

예: 모든 0 또는 유한 임펄스 반응

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{1}^{-q}X(z_{1},z_{2})}}}}}$

상태 공간 벡터는 다음과 같은 치수를 갖는다.

${\displaystyle R}$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \times }$ m${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, x${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ R $(1\time m),\quad s$(1$\time$n),\$quad$ x $(1\$${\displaystyle \mathrm{time}}$ $1)}$ 및$$ $y{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \times }$ 1${\displaystyle }$) ${\displaysty$ y $(1\time 1)}}$

합계의 각 용어는 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle z_{1$}, z 2 {\$displaystyle z_{2$}}의 음(또는 0$)$ 전원을 포함하며, $이$는 입력 $x{\displaystyle }$ (${\displaystyle i}$,${\displaystyle j)}$ ${\displaystyle$ x$(i,j)}$의 각 치수를 따라 지연(또는 이동)에 해당한다$.$ 이 지연은 $1$${\displaystyposylement$ styleargestyption styposallement(또는 power)를 적용시킬 수 있다$.$$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$및 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 행렬의$$ 수퍼 대각선 및 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$i,j$$}$의 적절한 $위치$에서의 곱셈 계수$.$$값{\displaystyle {}_{}}$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$${\displaystyle 0}$$}$은(는$)$ B 1 {\displaystyle $B_{1}:{$1} 행렬의$$ 위쪽 위치에 배치되어$$ 입력 $x{\displaystyle }$( i${\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle$ x$(i,j)}$을 곱한$$ $후{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 벡터의$$ 첫 번째 구성요소에 추가한다.또한 b ${\displaystyle {0\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$의 값이 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ 매트릭스에$$ 배치되어$$ $입력{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle$ x$(i,j)}$을 곱한$$ 후 $출력{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle y}$에 추가된다$.$그러면 행렬이 다음과 같이 나타난다.

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&, b_{2,n}&, b_{3,n}&, \cdots &, b_{m-1,n}&, b_{m,n}\\b_{1,n-1}&, b_{2,n-1}&, b_{3,n-1}&, \cdots &, b_{m-1,n-1}&, b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&, b_{2,n-2}&, b_{3,n-2}&, \cdots &, b_{m-1,n-2}&, b_{m,n-2}\\\vdots, \vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots & &, \vdots \\b_{1,2}&.;b_{2,2}&, b_{3,2}&, \cdots &, b_{m-1,2}&, b_{m,2}\\b_{1,1}&, b_{2,1}&, b_{3,1}&, \cdots &, b_{m-1,1}}&b_{m,1}\end{bmatrix}}$

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\\0\\\0\\\\\vdots \\0\\\0\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_n-1}\\\b_{0,2}\n-2}\\\vdots \\\b_{0,2}\b_{0,1}\end{bmatrix}}}}}}}}}.$

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\end{bmatrix}}}}}}}}$

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}$

^[3][4]

참조