모듈형 양식 modulo p

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수학에서 모듈형 형태는 복잡한 분석과 숫자 이론에서 관심 있는 상단 반면에 있는 특정한 복잡한 분석 기능이다.modulo a p 프라임 p를 줄이면 복잡한 모듈형식의 고전 이론과 모듈형식의 p-adic 이론과 유사한 이론이 있다.

모듈형 폼의 축소모듈로 2

modulo 2 감소 조건

모듈형 형태는 분석 기능이기 때문에 푸리에 시리즈를 인정한다.모듈형 형식도 모듈형의 그룹 작용에 관해서도 일정한 종류의 기능 방정식을 만족시키므로, 이 푸리에 시리즈는 $q{\displaystyle }$= e ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\$의 단위로 표현할 수 있다$.$ $따라서{\displaystyle }$ f ${\displaystyf}$가 모듈형 형태라면 계수 $c{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty c(n)$ su$$}s) su}이 있다.ch that ${\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}}$. To reduce modulo 2, consider the subspace of modular forms with coefficients of the ${\displaystyle q}$-series being all integers (since complex numbers, in general, may not be reduced modulo 2).그런 다음 모든 계수 modulo 2를 줄일 수 있으며, 이것은 모듈형 형식 modulo 2를 제공한다.

모듈형 양식 모듈로 2에 대한 기초

모듈형 형식은 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ G ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ :에 의해 생성된다.$$^[1]$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음 ${\displaystyle$ $G_{2$}} 및$$ ${\$ ~ ${\displaystyle {E2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$및$$$$ ${\displaystyle {E3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $E_$${3}}}}}$을$($를) 시리즈에 정수 계수를 갖는 정상화가 가능하다.이것은 모듈형 형태에 대한 발전기를 제공하며, 이것은 모듈형 2를 줄일 수 있다.Miller 기본에는 몇 가지 흥미로운 특성이 있음 일단 축소된 모듈로 2, E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} 및 E$$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $E_$${3}$는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$}$에 불과하다$.$ 즉, 사소한 감소.To get a non-trivial reduction, mathematicians use the modular discriminant ${\displaystyle \Delta }$. It is introduced as a "priority" generator before ${\displaystyle E_{2}}$ and ${\displaystyle E_{3}}$. Thus, modular forms are seen as polynomials of ${\displaystyle E_{2}}$,${\displa$$ystyle E_{3}}$ and ${\displaystyle \Delta }$ (over the complex ${\displaystyle \mathbb {C} }$ in general, but seen over integers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ for reduction), once reduced modulo 2, they become just polynomials of ${\displaystyle \Delta }$ over ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$.

모듈식 판별모듈로2길

모듈형 판별은 무한 제품으로 정의된다.

${\displaystyle \Delta (q)=q\prod _{n=1}^{{n1}^{n}^{n}}^{24}=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{n}\infty \tau(n)q^{n}.}$

일치하는 계수는 보통 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$로 표시되며, Ramanujan tau 함수에 해당된다.콜버그와^[3] 장-피에르 세레의^[4] 결과를 통해 우리는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{m}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$( ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{m}}^{}}$+ ${\displaystyle {1{}^{}}^{}}$) ${\displaystyle 2{{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 2$${\$displaystyle \Delta (q)\equiv \m=0}^{\ft$ }$q^{{{m+1}^$2}$2$}$}}{\bmod{2$}}:$$$\Delta$ ${\displaystyle \Delta }$모듈로$$ 2의$$ $q{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $q}$ 시리즈는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ ~ 홀수 제곱의$$ 힘으로 구성된다.

헤케 연산자 모듈로2번길

Heck 연산자는 일반적으로 모듈 형태로 작용하는 가장 중요한 연산자로 간주된다.그러므로 그들을 2단계를 줄이려고 하는 것은 정당하다.

모듈형 형태 f의 헤케 사업자{\displaystyle f}follows[5]T와 f(z)은 정의된다 n2k− 1∑ ≥ 1, d), 0≤ b<>dd− 2kf(a가 z+bd){\displaystyle T_{n}(z)=n^{2k-1}\sum _ᆰd^ᆱf\left({\frac{az+b}{d}}\right)}과 n∈ N{\displaystyl.en\in \m$atsb {N}$}.

Hecke operators may be defined on the ${\displaystyle q}$-series as follows:^[5] if ${\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c(n)q^{n}}$, then ${\displaystyle T_{n}f(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\gamma (m)q^{m}}$ with

${\displaystyle \j)=\sum _{a(n,m)\,a\geq 1}a^{2k-1}c\left-preck\frac{a^{2}}\오른쪽).}$

$모듈형{\displaystyle }$ 폼은$q$ {\$displaystyle$ q$$} -series를 사용하여 축소되었으므로 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -series$$ 정의를 사용하는 것이 타당하다.이 합계는 헤케의 소수 연산자를 위해 많은 것을 단순화한다(즉, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이 prime일 때). 요약은 두 개뿐이다.이것은 공식이 많이 단순화되었기 때문에 감량모듈로 2에 매우 좋다.2개 이상의 산지가 있으면 취소모듈 2가 많을 것이고, 그 과정의 정당성은 의심의 여지가 있을 것이다.따라서 Heck 연산자 modulo 2는 보통 소수 숫자에 대해서만 정의된다.

With ${\displaystyle f}$ a modular form modulo 2 with ${\displaystyle q}$-representation ${\displaystyle f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}}$, the Hecke operator ${\displaystyle T_{p}}$ on ${\displaystyle f}$ is defined by ${\displaystyle \overline{T_p}f(q)=\sum _n}$${\displaystyle \underset{}{\in }}$ N (${\displaystyle {}^{}}$ )$q {\$sum$_{n\in$ \mathb{$N}}\$gamma$($n$$$)q^{n$} 여기서

${\displaystyle \preason(n)={\case}c(np)&{\text{{}p\nmid n\\c(np)+c(np)+c(n/p)&\text{}}}}{p{\text}}}}{{이상 primid primid}.}$

헤케 연산자 modulo 2는 영점이라는 흥미로운 속성을 가지고 있다는 점에 유의해야 한다.그들의 영적 가능성을 찾는 것은 2012년에 발표된 논문에서 장 피에르 세레와 장 루이 니콜라스에 의해 해결된 문제다.^[6]

헤케 대수모듈로2길

헤케 대수학도 모듈로 2를 줄일 수 있다.Heck 연산자 modulo 2에 $의해{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ F ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \mathb{F$} $_{2$}에 걸쳐 생성된 대수라고 정의된다$.$

세레와 니콜라스의 $F$^[7] =${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {\Delta }^{}k{\mathrm{}}^{}}$ odd ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \text{홀수}}$ $⟩{\$ k${\text{ 홀수}}}\right\rangle$ $\},$ 즉.${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\Delta ^{7},\Delta ^{9},\dots \right\rangle }$. Writing ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\$$dots ,\Delta ^{2n-1}\right\rangle }$ so that ${\displaystyle \dim({\mathcal {F}}(n))=n}$, define ${\displaystyle A(n)}$ as the ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$-subalgebra of ${\displaystyle {\text{End}}\left({\mathcal {F}}(n)\right)}$ given by ${\displaystyle {\mathbb{F}}_{}}$${\displaystyle 2_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle T_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$

즉, $m{\displaystyle \mathfrak{}(n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \{{}_{}}$ ${\displaystyle {p{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p 2 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}\dots }$ …,${\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}k}$ P${\displaystyle }$, k${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$} {\$displaystyle {\mathfrak{m}(n)=\{{{}$$T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}\mid p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 1\}}$ is a sub-vector-space of ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, we get ${\displaystyle A(n)=\mathbb {F} _{2}\oplus {\mathfrak {m}}(n)}$.

마지막으로 Heck 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 다음과 같이$$ 정의하십시오.Since ${\displaystyle {\mathcal {F}}(n)\subset {\mathcal {F}}(n+1)}$, one can restrict elements of ${\displaystyle A(n+1)}$ to ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ to obtain an element of ${\displaystyle A(n)}$. When considering the map ${\displaystyle {\varphi }_n:A(n+1)\to A(n)}$${\displaystyle \phi _{n}:$$A{\displaystyle \mathcal{}}$$(n+1)\to A(n)}$에 대한 제한으로$$ F${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}(n)},$${\displaystyle {thenn}_{}}$ ${\$은 동형상이다.As ${\displaystyle A(1)}$ is either identity or zero, ${\displaystyle A(1)\cong \mathbb {F} _{2}}$. Therefore, the following chain is obtained: ${\displaystyle \dots \to A(n+1)\to A(n)\to A(n-1)\to \dots \to A(2)\to A(1)\cong \m$$athbb {F} _{2}}$. Then, define the Hecke algebra ${\displaystyle A}$ to be the projective limit of the above ${\displaystyle A(n)}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$. Explicitly, this means ${\displaystyle A=\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}A(n)=\{T_{p_1}\cdot T_{p_2}\cdots T_{p_k}{p}_1,p_2,\dots ,p_k}$${\displaystyle A=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }A(n)=\left\lbrace T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}} p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 0\right\rbrace }$.

헤케 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 주 속성은 T ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 시리즈에 의해 생성된다는 것이다$.$^[7]즉: $A{\displaystyle }$= F ${\displaystyle {}_{}}$[ T ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P\mathbb{}}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$[${\displaystyle }$[ T ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$T ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$ A$=\mathb {F} _{2}\왼쪽[]$$T_{p}\mid p\in \mathb {P} \right]=\mathb {F} _{2}\left[\left]$$T_{3},T_{5}\right]\right$

따라서 prime ${\displaystyle p\mathbb{}}$ ${\displaystyle \{}$P {\$displaystyle p\$${\displaystyle \mathrm{in}}$ \$mathb$ {$P}}$에$$대해 다음과 ${\displaystyle {\mathrm{같이}}_{}}$ ${\displaystyle {계수}_{}}$ a j (${\displaystyle {}_{}}$p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$F$} _{$2}}$개$를 찾을 수 있다.${\$$T_{3}^{i}$$T_{5}^{j}}}$

참조