계수 행렬

선형대수학에서 계수 행렬은 일련의 선형 방정식에서 변수의 계수로 구성된 행렬이다.행렬은 선형 방정식의 시스템을 푸는 데 사용된다.

계수 행렬

일반적으로 m 선형 방정식과 n개의 알 수 없는 시스템을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\${n$}은($는) 알 수 없는 것이고$$ 숫자는 ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{},}$ …, ${\$이 시스템의 계수들이다$$.계수 행렬은 m × n 행렬이며 ${\displaystyle {계수}_{}}$ a $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ij$}$을 (i, j )번째 항목으로 한다$$.^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

그러면 위의 방정식 집합은 다음과 같이 더욱 간결하게 표현할 수 있다.

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b}}$

여기서 A는 계수 행렬이고 b는 상수 항의 열 벡터다.

방정식 시스템의 특성과 그 특성의 관계

루체-카펠리 정리에서는 증분 행렬(벡터 b로 구성된 추가 컬럼으로 증강된 계수 행렬)의 순위가 계수 행렬의 순위보다 크면 방정식의 체계가 일관되지 않아 해결책이 없다는 것을 의미한다.반면에, 이 두 행렬의 순위가 같다면, 시스템은 적어도 하나의 해결책을 가지고 있어야 한다.해결책은 r등급이 n개의 변수 수와 같을 경우에만 고유하다.그렇지 않으면 일반 해결책에는 n – r 자유 매개변수가 있다. 따라서 그러한 경우에는 변수의 n – r에 임의 값을 부과하고 고유한 해결책에 대해 결과 시스템을 해결함으로써 찾을 수 있는 해결책의 불분명한 부분이 있다. 어떤 변수를 수정할지 선택하는 방법과 고정 값을 다르게 지정하면 서로 다른 시스템을 제공한다.전자 해결책

동적 방정식

상수 항을 갖는 1차 행렬 차이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c},}$

여기서 A는 n × n이고 y와 c는 n × 1이다.이 시스템은 A의 모든 고유값의 절대값이 1 미만인 경우에만 안정된 상태 수준의 y로 수렴한다.

항이 일정한 1차 행렬 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\dplaystyle {\frac {d\mathbf {y}}{dt}=A\mathbf {y}(t)+\mathbf {c}}$

이 시스템은 A의 모든 고유값이 음의 실제 부품을 갖는 경우에만 안정적이다.

참조