라벨로 표시된 열거 정리

결합 수학에서, 라벨링된 열거 정리는 라벨링된 사례에 대한 폴랴 열거 정리의 상대적인 것으로서, 여기서 우리는 N 슬롯으로 분산되고 있는 지수 생성 함수(EGF) g(z)와 슬롯을 허용하는 순열 그룹 G에 의해 주어진 라벨링된 개체 집합을 가지고 있다. 따라서 동등성을 생성한다.e-클래스 구성.슬롯에 있는 객체를 다시 라벨링하여 라벨을 1에서 k까지 할당하는 특별한 재 라벨링 작업이 있다. 여기서 k는 총 노드 수, 즉 개별 객체의 노드 수를 합한 것이다.EGF $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f_{n}(z)}$은(는) 이 재 라벨링 프로세스에 따른 다른 구성의 수에 대해$$ 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {g(z)^{n}}{G}}.}$

특히 G가 순서 n(hence, G = n!)의 대칭 그룹인 경우 ${\displaystyle {함수}_{}}$ f n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle f_{n}(z)}$을(를) 단일 생성 함수로 추가로 결합할 수 있다$$.

${\displaystyle F(z,t)=\sum _{n=0}^{\f_{n}(z)t^{n}=\sum _{n=0}^{n=0}}{\frac {g(z)^{n}}}{n!}}}{n}=e^{g(z)t}}}}}$

즉, 지수 W.R.T. 변수 z와 일반 W.R.T. 변수 t.

라벨 재표시 프로세스

$우리$는 $크기$가 ${\displaystyle \Omega }$인${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \omega$ $}$의 개체 ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ $displaystyle \omega$ ${\displaystyle \}!}$ ${\displaystyle z^{ \omega }/ \omega!}$는 ${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaysty \omega =m}$ 라벨이$$ 1에서 m으로 표시되는 내부 노드를 포함하는$$ 것으로 가정한다.슬롯에 대한 G의 작용은 라벨이 슬롯에 있는 물체를 구별하고 G 아래의 궤도는 모두 동일한 크기 ${\displaystyle G}$ $displaystyle$G$}$을(를) 가지기 때문에 라벨이 부착되지 않은 케이스에 비해 크게 단순하다.(EGF g(z)는 0 크기의 물체를 포함하지 않을 수 있다$.$왜냐하면 그것들은 라벨에 의해 구분되지 않기 때문에 그러한 물체들 중 두 개 이상의 존재는 ${\displaystyle 크기}$가 G $displaystyle$G$}$보다 작은 궤도를 만들기 때문이다.)$$ 언급했듯이, 물체의 노드는 슬롯에 분산될 때 다시 라벨을 붙인다.크기 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 객체가 첫 번째 슬롯에 들어가고$$, 크기 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ r_${2$}}$개$의 객체가 두 번째 슬롯에 들어간다고$$ 가정하면, 구성의 총 크기는 k가 된다.

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{n}=k.}$

라벨 재표시 프로세스는 다음과 같이 작동한다: 다음 중 하나를 선택하십시오.

${\displaystyle {k \선택 r_{1},r_{2},\ldots r_{n}}}$

k 레이블 세트를 크기 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{r\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$. ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots r_{n}$의 하위 집합으로 분할.$}$ 이제$$ 각 부분 집합의 레이블을 사용하여 각 개체의 내부 노드에 레이블을 다시 지정하고 레이블의 순서를 유지하십시오.예를 들어 첫 번째 개체에 1~4까지 라벨이 4개 있고 이 개체에 대해 선택한 레이블 세트가 {2, 5, 6, 10}인 경우 노드 1은 레이블 2, 노드 2, 레이블 5, 노드 3, 레이블 6 및 노드 4인 레이블 10을 수신한다.이러한 방식으로 객체에 대한 라벨은 객체에 대해$$ 선택한${\displaystyle }$[${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [k]}$의 하위 집합에서 가져온 라벨을 사용하여 고유한 라벨 표시를 유도한다.

정리증거

라벨을 다시 붙이는 공사로부터 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{ G }}\sum _{r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{n}=k}{k \choose r_{1},r_{2},\ldots r_{n}}\;r_{1}![z^{r_{1}}]g(z)\;r_{2}![z^{r_{2}}]g(z)\;\cdots \;r_{n}![z^{r_{n}}]g(z)}$

또는

$디스플레이 스타일 {\frac {k!}}{{{{r_{1}+r_{2}+r_{2}+\ldots +r_{n}=k}[z^{r_{1}}}g(z)[z^{r_{2}}]g(z)\cdots[z^{r_{n}}}g(z)\={frac {k!}}{{G}}[z^{k}]g(z)^{n}}}}}$

전체 크기 k의 다른 구성왜냐하면[zk]g(z)n{\displaystyle[z^{k}]g(z)^{n}}k<>에 0일지라도. 그 공식을 정수로, n(는 g크기의 개체가 포함되지 않는다 영도 기억하), k n≥ 우리가 n!k다{k\geq n\displaystyle}.{\displaystyle n!k!}G가 분열의 순서 G{G\displaystyle}t.을 평가한다그$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 순서$,$ 즉 라그랑주의 정리로는 $n!$ ${\displaystyle$ n$!}$이다.결론은 라벨이 부착된 구성의 EGF는 다음과 같다.

${\displaystyle f_{n}(z)=\sum _{k\geq 0}\좌측값\frac {k!}}{{G}}}{{z^{k}]g(z)^{n}\오른쪽){\frac {z^{k}}{k!}}}={\frac{1}{G }}\sum _{k\geq 0}z^{k}[z^{k}]g(z)^{n}={\frac {g(z)^{n}}}}{ G}}}}}.}$

이 공식은 또한 슬롯이 순열되지 않는 경우, 즉 슬롯이 순열되지 않는 경우를 열거하고, $위$의 인수를 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ $displaystyle$1$/G }-$${\displaystyle {요인}^{}}$ 없이 $사용$하여 다시 라벨링 하에서의 생성 기능이 g${\displaystyle }$( z${\displaystyle {}^{}}$) n ${\$에 의해 주어진다는 것을 보여줌으로써 얻을 수 있다$.$ 마지막으로 유의하십시오.ery 시퀀스는 G ${\displaystyle 크기}${\$displaystyle$G$}$의 궤도에 속하므로$,$ 궤도의 생성 $함수$는 g${\displaystyle }$( ${\displaystyle z{}^{}}$) n${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle g(z)^{n}/$ G $.}$에 의해 주어진다.

참조

• 프랑수아 베르제론, 길버트 라벨레, 피에르 르루, 테오리 데 에스페스, 콤비나토아르 데스 구조 형광체, 라킴, 몬트레알(1994)이다.영어 버전:캠브리지 대학 출판부(1998년)의 조합종과 나무와 같은 구조.