코스탄트 파티션 함수

In representation theory, a branch of mathematics, the Kostant partition function, introduced by Bertram Kostant (1958, 1959), of a root system ${\displaystyle \Delta }$ is the number of ways one can represent a vector (weight) as a non-negative integer linear combination of the positive roots ${\displaystyle \Delta ^{+}\su$$bset \Delta$ $\}.$ Kostant는 그것을 semisimple Lie 대수에서 해석할 수 없는 중량의 다중성을 위해 Weyl 문자 공식을 공식(Kostant 다중성 공식)으로 다시 쓰기 위해 사용했다.어떤 경우에 더 계산적으로 효율적인 대안 공식은 프로이덴탈의 공식이다.

Kac-Moody 알헤브라에 대해서도 Kostant 파티션 함수를 정의할 수 있으며 유사한 속성을 가지고 있다.

예

Consider the A2 root systems, with positive roots ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, and ${\displaystyle \alpha _{3}:=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$. If an element ${\displaystyle \mu }$ can be expressed as a non-negative integer linear combination of ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, and ${\displaystyle \alpha _{3}}$, then since ${\displaystyle \alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}}$, it can also be expressed as a non-negative integer linear combination of ${\displaystyle \alpha _{1}}$및 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$:

${\displaystyle \mu =n_{1}\properties _{1}+n_{2}\properties _{2}}:$

$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}:{2$}}:$ 음이 아닌 정수임$$.이 표현은 $\mu {\displaystyle }${\$displaystyle \mu }$을 양의 뿌리가 음이 아닌 정수 조합으로$$ 쓸 수 있는 한 가지 방법을 준다. $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ $\$$alpha _{1}+\alpha _{$2}를$$$\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 몇 번 바꿔서 얻을 수 있다.교체 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$번$$, 여기서 0 $where{\displaystyle \mathrm{}}$ k $≤$ m ${\displaystyle \mathrm{in}}$(${\displaystyle \mathrm{n}}$ 1, ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{})}$ $displaystyle 0\leq k\leq \matrm {min} (n_{1},n_{2})$을(를) 수행할 수 있다$.$따라서, 만약 Kostant 파티션 함수가 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$로 표시된다면$,$ 우리는 공식을 얻는다.

${\displaystyle p}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$+ m ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle p(n_{1$}\$n}\$iech $_{1}+n_{2$}\$i1}=1+\mathrm {min}(n_{1$},$n_{2})}$.

이 결과는 오른쪽 영상에 그래픽으로 표시된다.원소 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}\$n}\alpha _{2},$$p{\displaystyle (\mathrm{\mu }}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyp p(\mu )=0$

Weyl 문자 공식과의 관계

Weyl 분모 반전

각$$ 루트 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 각 $H{\displaystyle h\mathfrak{}}$ h$${\$displaystyle H\in${\$mathfrak {h}$에 대해 우리는 공식적으로 기하 계열의 합계에 공식을 적용하여 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-\alpha(H)}}}=1+e^{-\alpha(H)}+e^{-2\alpha(H)}+\cdots }}$

여기서 우리는 융합에 대해 걱정하지 않는다. 즉, 평등은 공식적인 권력 시리즈의 수준에서 이해된다.Weyl의 분모 공식 사용

${\displaystyle {\sum _{w\in W}^{\ell(w)^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha (H)}}}}}}}}}}}}}}}}}$

우리는 Weyl 분모의 역수에 대한 공식적 표현을 얻는다.^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1+e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{aligned}}}$

여기서 첫 번째 평등은 기하 급수 공식의 양의 뿌리보다 제품을 취하는 것이고, 두 번째 평등은 주어진 $지수{\displaystyle {}^{}}$ e ${\displaystyle {\mu }^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$H $){\$이 제품에서 발생할 수 있는$$ 모든 방법을 세는 것이다.

문자 수식 다시 쓰기

이 주장은 Weyl 문자 공식을 최고 무게의 $with{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 가진 수정 불가능한 표현으로 변환할 수 있다는 것을 보여준다$.$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)={\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)} \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

시점에서 상품에 이르기까지:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left(\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot (\lambda +\rho )(H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

다중성 공식

문자 수식의 앞의 재작성을 이용하면, 그 문자를 지수 합으로 쓰는 것이 비교적 쉽다.이러한 지수들의 계수는 해당 가중치의 곱이다.따라서 최대 중량 $[\displaystyle \lambda }$을(를) 가진 수정 불가능한 표현에서$$ 주어진 중량 $[\displaystyle \mu }$의 다중성에 대한 공식을 얻는다$.$^[2]

${\displaystyle \mathrm {mult} (\mu )=\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$.

이 결과는 Kostant 다중성 공식이다.

The dominant term in this formula is the term ${\displaystyle w=1}$; the contribution of this term is ${\displaystyle p(\lambda -\mu )}$, which is just the multiplicity of ${\displaystyle \mu }$ in the Verma module with highest weight ${\displaystyle \lambda }$. If ${\displaystyle \lambda }$ is기본 Weyl 챔버 안쪽에 충분히 있으며 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) $\lambda$ ${\displaystyle \lambda }$에 충분히 가깝고$,$ 공식의 다른 모든 용어는 0일 수 있다.Specifically, unless ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )}$ is higher than ${\displaystyle \mu +\rho }$, the value of the Kostant partition function on ${\displaystyle w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho )}$ will be zero.따라서 이 합계가 명목상 Weyl 그룹 전체에 걸쳐 있지만, 대부분의 경우 0이 아닌 항 수는 Weyl 그룹의 순서보다 적다.

참조

원천