카돔체프-페트비아슈빌리 방정식

교차하는 것은 거의 살인적인 파도열차로 구성된다. 대서양에 있는 프랑스 율 드 레(Rhé의 섬) 서쪽 지점에 있는 파레스 데 베일린스(Wale Lighthouse)에서 찍은 사진이다. 얕은 물에서 그러한 근해 솔리톤들의 상호작용은 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식을 통해 모델링될 수 있다.

수학과 물리학에서 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식(흔히 KP 방정식으로 약칭)은 비선형 파동 운동을 설명하는 부분 미분 방정식이다. 보리스 보리소비치 카돔체프와 블라디미르 이오시포비치 페트비아쉬빌리의 이름을 따서 명명된 KP 방정식은 보통 다음과 같이 쓰여 있다.

\displaystyle \cHB(\displaystyle \property_{t}u+u\epsilon _{xxx}u)+#da \capta \{y}u=0

여기서 $\lambda =\pm 1$ = $\lambda =\pm 1$ ± $\lambda =\pm 1$ ${\displaystyle \lambda =\pm$ 1 $\lambda =\pm 1$ 위의 형식은 KP 방정식이 1차원 Korteweg-de Vries(KdV) 방정식의 두 가지 공간 차원 x와 y에 대한 일반화임을 보여준다. 물리적으로 의미 있게 되려면, 파형 전파 방향은 x 방향에서 그리 멀지 않아야 한다. 즉, y 방향에서 용액의 느린 변화만이 있어야 한다.

KdV 방정식과 마찬가지로 KP 방정식은 완전히 통합이 가능하다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] 또한 비선형 슈뢰딩거 방정식과 마찬가지로 역 산란 변환을 사용하여 해결할 수 있다.^[6]

역사

보리스 카돔체프

KP 방정식은 1970년 소련의 물리학자 보리스 B에 의해 처음 쓰여졌다. 카돔체프(1928–1998)와 블라디미르 1세. Petviashvili (1936–1993); KdV 방정식의 자연스러운 일반화로 다가왔다(1895년 Korteweg와 De Vries가 도출했다). KdV 방정식 파동에서는 엄밀히 말하면 1차원인 반면, KP 방정식에서는 이러한 제한이 완화된다. 그러나 KdV 방정식과 케이피 방정식둘다 파장은 양)방향으로이동해야 한다.

물리학과의 연결

KP 방정식은 약하게 비선형 복원력과 주파수 분산으로 긴 파장의 수파를 모형화하는 데 사용할 수 있다. 중력력에 비해 표면장력이 약하면 $\lambda =+1$ = $\lambda =+1$ + $\lambda =+1$ $\lambda =+1$ 을 $\lambda =+1$ 사용하고, 표면장력이 $\lambda =-1$ = - $\lambda =-1$ 1 {\ $displaystyle \lambda$ =-1 $}$ 을 사용한다 $\lambda =-1$ x와 y단어가 방정식에 들어가는 방식의 비대칭성 때문에 KP 방정식에 의해 기술된 파장은 프로펠러 방향으로 다르게 작용한다.아지션(x-방향) 및 가로(y) 방향, y-방향의 진동은 더 부드러운 경향이 있다(작은 방향).

KP 방정식은 또한 보세-아인슈타인 응축물의 ^[7]2차원 물질-파동 펄스뿐만 아니라 강자성 매체에서 파동을 모형화하는 데도 사용될 수 있다.

제한행동

$\epsilon \ll 1$ $≪$ $\epsilon \ll 1$ ${\$ $displaystyle$ $\epsilon$ $\ell$ $1$ 의 경우, 일반적인 x-dependent 진동 파장은 $O(1/\epsilon )$ ( $O(1/\epsilon )$ / $O(1/\epsilon )$ {\ $displaystyle$ O (1/\ $epsilon$ $)}$ 의 $O(1/\epsilon )$ 파장을 가지며, $\epsilon \rightarrow 0$ → $0$ 으로 단일한 제한 체제를 제공한다 $\epsilon \rightarrow 0$ 한계치 $\epsilon \rightarrow 0$ → 0 $\epsilon \rightarrow 0$ 을 $\epsilon \rightarrow 0$ 분산 제한이라고 한다.^[8]^[9]^[10]

또한 솔루션이 y와 무관하다고 가정할 경우 $\epsilon \rightarrow 0$ → 0 $\epsilon \rightarrow 0$ {\ $displaystyle \epsilon$ \epsilon $\rightarrow 0$ 다음과 같은 비논리 버거 방정식도 충족한다.

\displaystyle \property_{t}u+u\properties _{x}u=0.

용액의 진동 진폭이 무분산 한계에서 점증적으로 작다고 가정합시다. $O(\epsilon )$ ( $O(\epsilon )$ ) ${\displaystyle$ O $(\epsilon )}$ 그러면 진폭은 데이비-스튜어트슨 유형의 평균장 방정식을 만족한다.

참고 항목

참조

^ Wazwaz, A. M. (2007). "Multiple-soliton solutions for the KP equation by Hirota's bilinear method and by the tanh–coth method". Applied Mathematics and Computation. 190 (1): 633–640. doi:10.1016/j.amc.2007.01.056.
^ Cheng, Y.; Li, Y. S. (1991). "The constraint of the Kadomtsev-Petviashvili equation and its special solutions". Physics Letters A. 157 (1): 22–26. doi:10.1016/0375-9601(91)90403-U.
^ Ma, W. X. (2015). "Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation". Physics Letters A. 379 (36): 1975–1978. doi:10.1016/j.physleta.2015.06.061.
^ Kodama, Y. (2004). "Young diagrams and N-soliton solutions of the KP equation". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (46): 11169–11190. arXiv:nlin/0406033. doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.
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^ Takasaki, K.; Takebe, T. (1995). "Integrable hierarchies and dispersionless limit". Reviews in Mathematical Physics. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th/9405096. doi:10.1142/S0129055X9500030X.

추가 읽기

Kadomtsev, B. B.; Petviashvili, V. I. (1970). "On the stability of solitary waves in weakly dispersive media". Sov. Phys. Dokl. 15: 539–541. Bibcode:1970SPhD...15..539K.. 번역
Kodama, Y. (2017). KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns. Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
Lou, S. Y.; Hu, X. B. (1997). "Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation". Journal of Mathematical Physics. 38 (12): 6401–6427. doi:10.1063/1.532219.
Minzoni, A. A.; Smyth, N. F. (1996). "Evolution of lump solutions for the KP equation". Wave Motion. 24 (3): 291–305. doi:10.1016/S0165-2125(96)00023-6.
Nakamura, A. (1989). "A bilinear N-soliton formula for the KP equation". Journal of the Physical Society of Japan. 58 (2): 412–422. doi:10.1143/JPSJ.58.412.
Previato, Emma (2001) [1994], "KP-equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Xiao, T.; Zeng, Y. (2004). "Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (28): 7143. arXiv:nlin/0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Kadomtsev–Petviashvili equation". MathWorld.
Gioni Biondini and Dmitri Pelinovsky (ed.). "Kadomtsev–Petviashvili equation". Scholarpedia.
Bernard Deconinck. "The KP page". University of Washington, Department of Applied Mathematics. Archived from the original on 2006-02-06. Retrieved 2006-02-27.

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[3] Ma, W. X. (2015). "Lump solutions to the Kadomtsev–Petviashvili equation". Physics Letters A. 379 (36): 1975–1978. doi:10.1016/j.physleta.2015.06.061.

[4] Kodama, Y. (2004). "Young diagrams and N-soliton solutions of the KP equation". Journal of Physics A: Mathematical and General. 37 (46): 11169–11190. arXiv:nlin/0406033. doi:10.1088/0305-4470/37/46/006.

[5] Deng, S. F.; Chen, D. Y.; Zhang, D. J. (2003). "The multisoliton solutions of the KP equation with self-consistent sources". Journal of the Physical Society of Japan. 72 (9): 2184–2192. doi:10.1143/JPSJ.72.2184.

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[8] Zakharov, V. E. (1994). "Dispersionless limit of integrable systems in 2+1 dimensions". Singular limits of dispersive waves. Boston: Springer. pp. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.

[9] Strachan, I. A. (1995). "The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General. 28 (7): 1967. arXiv:hep-th/9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.

[10] Takasaki, K.; Takebe, T. (1995). "Integrable hierarchies and dispersionless limit". Reviews in Mathematical Physics. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th/9405096. doi:10.1142/S0129055X9500030X.

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