비합리성 순서

수학에서, 양의 정수_n a의 순서는 양의 정수 x의 모든 순서에 대해 시리즈의 합인 x의_n 속성을 갖는다면 비합리성 시퀀스라고 불린다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}}}}}}}}$

존재(즉, 수렴)하며 비이성적인 수이다.^[1][2]비합리성 서열을 특징짓는 문제는 폴 에르디스와 에른스트 G에 의해 제기되었다. 원래 비합리성 수열인 속성을 '속성 P'^[3]라고 불렀던 스트라우스.

예

2 ${\displaystyle {{2n}^{}}^{}}$ ${\$의 지수를 가진 두 개의 힘이 비합리성 시퀀스를 형성한다$.$하지만 실베스터의 순서는

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(각 용어가 이전 모든 용어의 산물보다 한 개 더 많은 경우) 또한 두 배로 기하급수적으로 증가하며, 비합리성 순서를 형성하지 않는다.${\displaystyle {모든}_{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ x $n{\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{n}=1$}이$($가) 제공되도록 하는 경우

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}{1}:{3}+{\frac {1}{1}{7}}+{\frac {1}{43}+\cdots1,}$

이성적인 숫자로 수렴하는 연속$마찬가지$로, $요인{\displaystyle }$ n${\displaystyle !}$ ${\displaystyle n!}$은$($는) 모든 n ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x_{n}=n+2$}이$($가) 주어진 시퀀스가 합리적인 합계를 가진 시리즈로 이어지기$$ 때문에 비합리성 시퀀스를 형성하지 않는다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {1}{(n+2)n!}}}={\frac{1}{1}:{1}:{3}+{3}+{\frac{1}{1}{1}{8}}+{30}+{\frac {1}{1}}+{1}+{1}}+\cdots =1}1.}$^[1]

성장률

어떤 시퀀스 a가_n 비합리적인 시퀀스가 되려면, 반드시 다음과 같은 속도로 성장해야 한다.

${\displaystyle \underset{n}{lim\; supp}}$ → ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{로그}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \limsup_{n\to \inflt }{\frac {\log a_{n}}}\$log a_{$n}}\geq \log$ 2$}$^[4].

여기에는 두 배 이상 지수화된 속도로 성장하는 시퀀스뿐만 아니라 두 배 이상의 힘보다 더 빠르게 성장하는 일부 두 배 지수화된 시퀀스가 포함된다.^[1]

모든 비합리적인 순서는 충분히 빨리 자라야 한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }a_{n}^{1/n}=\infit .}$

그러나 각 항 쌍의 최대 공통점자가 (두 개의 힘의 힘과는 달리) 1이고, 어느 한 쌍의 항에 대한 최대 공통점자가 1인 그러한 순서가 존재하는지 알 수 없다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }a_{n}^{1/2^{n}}}$^[5]

관련 속성

비합리성 시퀀스와 유사하게, Hanchl(1996)은 초월 시퀀스를 정수 시퀀스로 정의했다. 즉_n, 모든 시퀀스 x_n 양의 정수에 대해 시리즈의 합을 의미한다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}}}}}}}}$

존재하며 초월적인 숫자다.^[6]

참조