LPDO의 불변 인자화

이 글은 주제를 잘 모르는 사람들에게 불충분한 맥락을 제공한다. 독자에게 더 많은 맥락을 제공하여 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2018년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

LPDO(Linear partial differential operator)의 인수화는 통합형 LPDE를 구축할 수 있는 ^[1]Laplace-Darboux 변환으로 인해 통합성 이론에서 중요한 이슈다.라플레이스는 두 번째 순서의 이바리산 쌍곡선 운영자에 대한 인자화 문제를 해결했다(이중복선 부분 미분 방정식 참조). 두 개의 라플라스 불변제를 구성했다.각 Laplace 불변량은 인자의 명시적 다항식 조건이며, 이 다항식의 계수는 초기 LPDO 계수의 명시적 함수다.인자화의 다항 조건은 등가 연산자(즉, 자기 적응)에 대해 동일한 형태를 가지기 때문에 불변량이라고 한다.

Vals-Kartashova-factorization(BK-factorization이라고도 함)은 임의의 질서와 임의 형태의 이바리테 연산자를 인수하기 위한 건설적인 절차다.이에 상응하여 이 경우의 인자화 조건도 다항식을 가지며, 불변성이며, 두 번째 순서의 이바리테이트 쌍곡선 연산자에 대한 라플라스 불변성과 일치한다.인자화 절차는 순수하게 대수학이며, 초기 LPDO의 특성 다항식(기호라고도 함)과 각 인자화 단계에서 나타나는 감소된 LPDO의 숫자에 따라 가능한 인자화 수입니다.순서 2와 순서 3의 임의 형태의 이바리테 연산자에 대한 인자화 절차 아래에 설명되어 있다.$n{\displaystyle }$ {\$displaystylen}$ 오퍼레이터에 대한 명시적 요인화 공식은 일반^[2] 불변환자를 정의하고^[3] Beals-Kartashova 요인화의 불변성 공식은 다음에서^[4] 찾을 수 있다$$$.$

벨-카르타쇼바 인자화

오더2의 연산자

연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}=a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02}\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.}$

계수를 매끄럽게 하여 인자화를 도모하다.

${\displaystyle {\mathcal {A}_{2}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{x}+p_{3})(p_{4}\p}\partial _{x}+p_{6})}$

p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 방정식을 명시적으로$$ 적어 두고 왼쪽 구성의 법칙, 즉 그 법칙을 염두에 두자.

${\displaystyle \property_{x}(\displaysty \cHB_{y}=\properties _{x}(\properties )\properties _{y}+\put \properties \put_}$

그럼 모든 경우에

${\displaystyle a_{20}=p_{1}p_{4}}$

${\displaystyle a_{11}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5}}}$

${\displaystyle a_{02}=p_{2}p_{5}}$

${\displaystyle a_{10}={\mathcal {{L}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{6}}}}}$

${\displaystyle a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{6}}}}}$

${\displaystyle a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6}}}}$

여기서$$ $표기법{\displaystyle \mathcal{}}$ L${\displaystyle }$= p ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ y ${\$_${y}}$이 사용된다$.$

일반성의 손실 없이, ${\displaystyle {20}_{}0}$0, ${\displaystyle a_{20}\neq$ 0$,},$ 즉$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p_{1}\neq 0,},$ 1$$, p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyp_{1}=1$로 취할 수 있다$.$$}$ 이제$$ 변수에 대한 6개의 방정식 시스템 해결

${\displaystyle p_{2}}$ $(\displaystyle...)}$ ${\displaystyle p_{6}}$

3단계에서 찾을 수 있다.

첫 번째 단계에서는 2차 다항식의 뿌리를 찾아야 한다.

두 번째 단계에서는 두 개의 대수 방정식의 선형 시스템을 해결해야 한다.

세 번째 단계에서는 하나의 대수적 조건을 점검해야 한다.

1단계. 변수

${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{4}}$ ${\displaystyle p_{5}}$

처음 3개의 방정식에서 찾을 수 있다.

${\displaystyle a_{20}=p_{1}p_{4}}$

${\displaystyle a_{11}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5}}}$

${\displaystyle a_{02}=p_{2}p_{5}.}$

그러면 (가능) 해결책은 2차 다항식의 뿌리의 함수다.

${\displaystyle {\mathcal{P}_{2}(-p_{2})=a_{20}(-p_{2})^{2}+a_{11}(-p_{2})+a_{02}=0}$

Ω ${\displaystyle \omega}$을(를) $다항식{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$P ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$,$${\$displaystyle${\$mathcal$ {$P}_{$2}의 루트가 되도록$$ 한다$$.

${\displaystyle p_{1}=1,}$

${\displaystyle p_{2}=-\omega ,}$

${\displaystyle p_{4}=a_{20}}$

${\displaystyle p_{5}=a_{20}\오메가 +a_{11}}}$

2단계. 첫 단계에서 얻은 결과를 다음 두 방정식으로 대체

${\displaystyle a_{10}={\mathcal {{L}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{6}}}}}$

${\displaystyle a_{01}={\mathcal {L}}(p_{5})+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{6}}}}}$

두 가지 대수 방정식의 선형 시스템을 산출한다.

${\displaystyle a_{10}={\mathcal {L}a_{20}+p_{3}a_{20}+p_{6}}}}$

${\displaystyle a_{01}={\mathcal {L}(a_{11}+a_{20}\omega )+p_{3}(a_{11}+a_{20}\omega)-\omega p_{6},},}$

특히 루트 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 간단한$$ 경우, 즉,

${\displaystyle {\mathcal{P}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {20}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\p}_{2}'(\omega )=2a_{20}\omega +a_{11}\neq$ 0$,}$ 그 다음$$.

방정식에는 다음과 같은 고유한 해법이 있다.

${\displaystyle p_{3}={\frac {\omega a_{10}+a_{01}-\omega {L}a_{20}-{\mathcal {L}(a_{20}\omega +a_{11}}}}}}}}}{2a_{20}\omega_{11}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle p_{6}={\frac {(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}a_{20}-a_{20}-a}-a_{20}-}-{01}-{\mathcal}-{L}(a_{20}\omega_}))}}{2a_{20}\오메가 +a_{11}}.}$

이 단계에서는 $다항식{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ P ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\${\$mathcal{P}_{$2}}개의 각 루트에 대해$$ ${\displaystyle {해당}_{}}$하는 계수 p$${\$displaystyle p_{j}$를 계산한다$$.

3단계. 인자화 조건 확인(초기 6 방정식의 마지막)

${\displaystyle a_{00}={\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6}}}}$

${\displaystyle {알려진}_{}}$ 변수 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}}:$

${\displaystyle a_{00}={\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\times {\frac {a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20}}}{2a_{20}\omega +a_{11}}}}}}$

만약

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}\left\{{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\right\}+{\frac {\omega a_{10}+a_{01}-{\mathcal {L}}(2a_{20}\omega +a_{11})}{2a_{20}\omega +a_{11}}}\times {\frac {a_{20}(a_{01}-{\mathcal {L}}(a_{20}\omega +a_{11}))+(a_{20}\omega +a_{11})(a_{10}-{\mathcal {L}}a_{20}}}{2a_{20}\오메가 +a_{11}}=0,}$

연산자 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$}}은$$ 인수할 수 있으며 인수 계수 p {\$displaystyle$ p_${j}}$에 $대한$ 명시적 형식이 ${\displaystyle {위}_{}}$에 제시되어$$ 있다.

오더3의 연산자

연산자를 고려하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}=\sum _{j+k\leq 3}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}=a_{30}\partial _{x}^{3}+a_{21}\partial _{x}^{2}\partial _{y}+a_{12}\partial _{x}\partial _{y}^{2}+a_{03}\partial _{y}^{3}+a_{20}\partial _{x}^{2}+a_{11}\partial _{x}\partial _{y}+a_{02}\partial _{y}^{2}+a_{10}\partial _{x}+a_{01}\partial _{y}+a_{00}.}$

계수를 매끄럽게 하여 인자화를 도모하다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{3}=(p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y}+p_{3})(p_{4}\partial _{x}^{2}+p_{5}\partial _{x}\partial _{y}+p_{6}\partial _{y}^{2}+p_{7}\partial _{x}+p_{8}\partial _{y}+p_{9}).}$

연산자 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}_{2}}$의 경우와 유사하게 인자화 조건은$$ 다음 시스템에서 설명한다.

${\displaystyle a_{30}=p_{1}p_{4}}$

${\displaystyle a_{21}=p_{2}p_{4}+p_{1}p_{5}}}$

${\displaystyle a_{12}=p_{2}p_{5}+p_{1}p_{6}}}$

${\displaystyle a_{03}=p_{2}p_{6}}}$

${\displaystyle a_{20}={\mathcal {{L}(p_{4})+p_{3}p_{4}+p_{1}p_{7}}}}}$

${\displaystyle a_{11}={\mathcal {L}}+p_{3}p_{5}+p_{2}p_{7}+p_{1}p_{8}}}$

${\displaystyle a_{02}={\mathcal {{L}(p_{6})+p_{3}p_{6}+p_{2}p_{8}}}}}$

${\displaystyle a_{10}={\mathcal {{L}(p_{7})+p_{3}p_{7}+p_{1}p_{9}}}}$

${\displaystyle a_{01}={\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9}}}}$

${\displaystyle a_{00}={\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9}}}}$

with ${\displaystyle {\mathcal {L}}=p_{1}\partial _{x}+p_{2}\partial _{y},}$ and again ${\displaystyle a_{30}\neq 0,}$ i.e. ${\displaystyle p_{1}=1,}$ and three-step procedure yields:

첫 번째 단계에서 입방 다항식의 뿌리

${\displaystyle {\mathcal {P}_{3}(-p_{2})^=a_{3}(-p_{2})^{3}+a_{212}(-p_{2})+a_{03}=0.}$

찾아내야 한다다시 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) 루트를 나타내며$$ 처음 4개의 계수는

${\displaystyle p_{1}=1,}$

${\displaystyle p_{2}=-\omega ,}$

${\displaystyle p_{4}=a_{30}}$

${\displaystyle p_{5}=a_{30}\오메가 +a_{21}}}$

${\displaystyle p_{6}=a_{30}\오메가^{2}+a_{21}\오메가 +a_{12}}$

두 번째 단계에서는 세 가지 대수 방정식의 선형 시스템을 해결해야 한다.

${\displaystyle a_{20}-{\mathcal {L}a_{30}=p_{3}a_{30}+p_{7}}}}$

${\displaystyle a_{11}-{\mathcal{L}}(a_{30}\omega +a_{21})=p_{3}(a_{30}\omega +a_{21})-\omega p_{7}+p_{8}}}}}}$

${\displaystyle a_{02}-{\mathcal {L}(a_{30}\omega ^{2}+a_{12})=p_{3}(a_{30}\omega ^{2}+a_{12})-\omega p_{8}.}$

세 번째 단계에서는 두 가지 대수적 조건을 점검해야 한다.

$순서{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 연산자

불변성 제형

정의 연산자 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ $A{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$~ ${\$은(는) 다음 중 하나를 다른 것으로 이동하는 게이지 변환이 있는 경우 동등하다고 불린다$$.

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}g=e^{-\varphi }{\mathcal {A}(e^{\varphi }g).}$

그러면 BK-요인화는 임의 순서 $LPDO{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ A${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 인수화를 형식에 명시적으로$$ 구성할 수 있는 순수 대수적 절차다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j+k\leq n}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}={\mathcal {L}}\circ \sum _{j+k\leq (n-1)}p_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}}$

1차 연산자 $L{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}\Omega }$ ${\displaystyle y_{}}$+ p ${\displaystyle {\mathcal {\l}=\partial _{x}-\omega \partial _{y}+p}$인 경우$$, 여기서 Ω$${\$displaysty \omega$}는 특성 다항식의 임의의 단순 루트임$$

${\displaystyle {\mathcal {{P}(t)=\sum _{k=0}^{n-k_{n-k,k}t^{n-k}},\quad {\mathcal {P}(\omega )=0.}$

그러면 각 단순 루트 $\Omega {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 대해 인자화가 가능하다.

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$→ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n=2\\ \rightarrow l_{2}=0,}$의 경우

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$→ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 3{}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ l ${\displaystyle {31}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n=3\\ \rightarrow l_{3}=0,l_{31}=0,}$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$→ l ${\displaystyle 4{}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle {41}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$ ${\displaystyle {42}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n=4\\ \rightarrow l_{4}=0,l_{41}=0,l_{42}=0$,l_{42}=0$,}$

등등.모든 기능 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$l ${\displaystyle {31}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {41}_{}}$ l ${\displaystyle {42}_{},}$.${\displaystyle }$. . . ${\displaystyle l_{2},l_{3},l_{3},l_{$4},$l_{41},\ l_{42},...$$}$은(는) 알려진 함수, 예를 들어,

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}(p_{6})+p_{3}p_{6}}}$

${\displaystyle l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}(p_{9})+p_{3}p_{9}}$

${\displaystyle l_{31}=a_{01}-{\mathcal {L}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9}}}}$

등등.

정리 모든 기능

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{{00}-{\mathcal{L}}{{3}p_{6}+p_{6}+{3}=a_{00}-{00}-{\mathcal {L}+p_{9}},l_{31},.......}$

게이지 변형 하에 있는 불변성.

Definition Invariants ${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},.....}$ are called generalized invariants of a bivariate operator of임의의 명령

특히 이바리산 쌍곡선 연산자의 경우 일반화된 불변량은 라플라스 불변량과 일치한다(라플라스 불변성 참조).

Corolarary $연산자{\displaystyle \stackrel{}{\mathcal{}}}$ A${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${\$tilde${\$mathcal{A}}}$이(가) 인수 가능한 경우 이에 해당하는 모든 연산자도 인수할 수 있다.

등가 연산자는 다음과 같이 계산하기 쉽다.

${\displaystyle e^{-\varphi }\filename _{x}{x}+\varphi _{x},\filename e^{-\varphi }\filename _{y}e^{\varphi }=\y}}$

${\displaystyle e^{-\varphi }\partial _{x}\partial _{y}e^{\varphi }=e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=(\partial _{x}+\varphi _{x})\circ (\partial _{y}+\varphi _{y})}$

등등.몇 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle A_{1}=\partial _{x}\partial _{y}+1=\partial _{y}+x)\partial _{x}(\partial _{y}+x),\quad l_{2}=1-1-0=0;}$

${\displaystyle A_{2}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+\partial _{y}+x+1,\quad A_{2}=e^{-x}A_{1}e^{x};\quad l_{2}(A_{2})=(x+1)-1-x=0;}$

${\displaystyle A_{3}=\partial _{x}\partial _{x}+(y+1)\partial _{x}+(xy+x+1)\partial _{y}+2(xy+1),\quad A_{3}=e^{-xy}A_{2}e^{xy};\quad l_{2}(A_{3})=2(x+1+xy)-2x(y+1)=0;}$

${\displaystyle A_{4}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+(\cos x+1)\partial _{y}+x\cos x+x+1,\quad A_{4}=e^{-\sin x}A_{2}e^{\sin x};\quad l_{2}(A_{4})=0.}$

전치하다

연산자의 인자화는 해당 방정식을 푸는 방법의 첫 번째 단계다.그러나 해결책을 위해 우리는 올바른 요소가 필요하고 BK-factorization은 구축하기 쉬운 왼쪽 요소를 구성한다.반면에, LPDO의 특정 우측 인자의 존재는 해당 연산자의 전치 좌익 인자의 존재와 동등하다.

Definition The transpose ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}}$ of an operator ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha },\qquad \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}.$$}}$은(는${\displaystyle )}$ $A{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {\alpha }_{}{}^{\alpha }{\mathrm{}}^{}}$α ${\displaystyle {\alpha }^{}{}_{}{}^{}{}_{}}$ . $displaystyle {\mathcal${A$}^{t}u=\sum(-1)^{\alpha }{\alpha }u$로 정의된다$.$$}$ and the identity ${\displaystyle \partial ^{\gamma }(uv)=\sum {\binom {\gamma }{\alpha }}\partial ^{\alpha }u,\partial ^{\gamma -\alpha }v}$ implies that ${\displaystyle {$$\mathcal{A}^{t}=\sum(-1)^{\alpha +\beta }{\binom {\alpha +\beta }}{\binom {\binom {\alpha }}}(\partial ^{}a_{\alpha +\beta }}).$

이제 계수는

${\displaystyle {\mathcal {A}^{t}=\sum {\tilde {a}_{\alpha }\partial ^{\alpha }}}$ ${\displaystyle {a}_{\tilde {a}_{\data }=\sum(-1)^{\binom {\binom}{\binom {\binom +\bina }{\bina }{\bina ^}(a_{\bea_{\bea}+\bea}).}$

여러 변수의 이항 계수에 대한 표준 규약을 사용하여(예: 두 변수의 이항 계수 참조)

${\displaystyle {\binom {\binom {\binom }{\message }}={\binom {(\binom _{1}, {\binom _{1}{1}}}}={\binom _{1}, {\binom _{1}, {\bin _{2}}.}$

In particular, for the operator ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ the coefficients are ${\displaystyle {\tilde {a}}_{jk}=a_{jk},\quad j$$+k=2;{\tilde{a}_{10}}}=-a_{10}+2\iech_{x}a_{20}+\iech_{y}a_{11}=-{01}+\iech _{x}a_{01}+2}, _{y}a_{02}}}$

${\displaystyle {\tilde{a}_{00}=a_{00}-\filename _{x}a_{01}+\filename _{x}a_{01}+\filename _{x}a_{11}+\filename _{y}^2}a_{02}}$

예를 들어, 연산자

${\displaystyle \property_{x}-\pair_{y}+y\pair_{x}+x\pair_{y}+{4}}(y^{2}-x^{2}-1}-1}-1}-1}1}$

로서 인수할 수 있다.

${\displaystyle {\big [}\big [}\big]\{x}+\flair _{y}+{\tfrac {1}{1}{2}}(y-x){big ]\,{\big [}...{\big ]}}$

그리고 그것의 전치 $A{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$은${\displaystyle (}$는) [${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . .${\displaystyle x_{}{\mathrm{}}_{}}$-${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$( y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle ]}$ . ${\displaystyle {\big [}...]$로 인수할 수 있다$$.${\big ]}\,{\big [}\big [}\big] _{x}-\big_{y}+{1}{1}{1}{{1}(y+x){\big ]}.$$}$

참고 항목

• 부분파생상품
• 불변성(수학)
• 불변론
• 특성 다항식

메모들

참조

• J. 와이스.Becklund 변환과 Pinlevé 속성.[1] J. 수학.체육관 27, 1293-1305 (1986)
• 비알스, E. 카타쇼바두 변수에서 선형 부분 미분 연산자를 건설적으로 인수함.이론. 수학. 145(2), 페이지 1510-1523(2005)
• E. 카르타쇼바.선형 부분 차등 연산자를 위한 일반화 불변성의 계층.이론. 수학. 147(3), 페이지 839-846(2006)
• E. 카타쇼바, O. 루덴코.BK-요인화의 불변성 형태와 그 적용Proc. GIFT-2006, 페이지.225-241, Eds:J. Calmet, R. W. Tucker, Karlsruhe University Press(2006); ArXiv