이미지 파생상품

이미지 파생상품은 라플라시안, 소벨, 로버츠 및 프루트 연산자와 같이 크기가 2 × 2 또는 3 × 3인 소형 콘볼루션 필터를 사용하여 계산할 수 있다.^[1]그러나 마스크가 클수록 일반적으로 파생상품에 대한 더 나은 근사치를 얻을 수 있으며 그러한 필터의 예로는 가우스^[2] 파생상품과 가보르 필터가 있다.^[3]때로는 고주파 노이즈를 제거해야 하며 이는 가우스 커널이 밴드 패스 필터로 작용할 수 있도록 필터에 통합될 수 있다.^[4]이미지 처리에서 가보르^[5] 필터를 사용하는 것은 그것이 인간의 시각 시스템에서의 인식과 몇 가지 유사성에 의해 동기 부여되었다.^[6]

픽셀 값은 콘볼루션으로 계산된다.

${\displaystyle p'_{u}=\mathbf {d}\ast G}$

여기서 $d{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$d}$은(는$)$ 파생 $커널$이고 G ${\displaystyle G$$}$은(는) 이미지 영역의 픽셀 값이며$$and$$ {\$displaystyle \ast$}은$$(는) 콘볼루션을 수행하는 연산자다.

소벨 유도체

소벨 연산자로 알려진 파생 커널은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 방향에$$ 대해 각각 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p'_{u}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} \quad {\mbox{and}}\quad p'_{v}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {G} }$

여기서$$ $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) 2차원 콘볼루션 작업을 의미한다.

이 연산자는 분리할 수 있으며, 보간과 분화 커널의 산물로 분해될 수 있으므로, 예를 들어 $p{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle v_{}^{}}$ $′{\$$v}$가 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}+1&#1&#1&#2&#2&#1&#1&#1&#1\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}1\\\nd{bmatrix}{bmatrix}+1&#1\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

패리드와 사이먼첼리 파생상품

패리드와 사이먼첼리는^[7][8] 한 쌍의 커널을 보간용으로, 또 다른 커널은 분화를 위해 사용할 것을 제안한다(위의 소벨과 비교).5 x 5 및 7 x 7 고정 크기의 이러한 커널은 푸리에 변환이 올바른 파생 관계에 근접하도록 최적화된다.

Matlab 코드에서 소위 5탭 필터는

k  = [0.030320  0.249724  0.439911  0.249724  0.030320]; d  = [0.104550  0.292315  0.000000 -0.292315 -0.104550]; d2 = [0.232905  0.002668 -0.471147  0.002668  0.232905]; 

그리고 7탭 필터는

k  = [ 0.004711  0.069321  0.245410  0.361117  0.245410  0.069321  0.004711]; d  = [ 0.018708  0.125376  0.193091  0.000000 -0.193091 -0.125376 -0.018708]; d2 = [ 0.055336  0.137778 -0.056554 -0.273118 -0.056554  0.137778  0.055336]; 

예를 들어, 첫 번째 순서 파생상품은 콘볼루션을 수행하기 위해 Matlab을 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

  아이유 = conv2(d, k, 나는, 'same');  수직으로 파생된 비율(Wrt Y) IV = conv2(k, d, 나는, 'same');  수평 유도율(wrt X) 

Farid와 Simoncelli는 위에 제공된 계수에 비해 더 정확한 첫 번째 파생 계수를 도출했다는 점에 주목한다.그러나 후자는 제2차 파생상품 인터폴레이터와 일관성이 있으므로 제1차 파생상품과 제2차 파생상품을 모두 추구하는 경우 사용하는 것이 좋다.반대로 첫 번째 파생상품만 원하는 경우에는 최적의 첫 번째 파생상품 계수를 사용해야 한다. 자세한 내용은 논문에서 확인할 수 있다.

헤스트 파생상품

임의의 세제곱 스플라인에 기초한 파생 필터는 헤스트에 의해 제시되었다.^[9]그는 어떻게 1차 및 2차 파생상품이 입방 또는 삼각 스플라인을 사용하여 더 정확하게 계산될 수 있는지를 보여주었다.효율적인 파생 필터는 중앙 픽셀에 대해 파생 모델이 계산되도록 홀수 길이가 되어야 한다.그러나 모든 큐빅 필터는 4개의 샘플 포인트에 걸쳐 장착되며 픽셀 사이에 있는 중앙을 제공한다.이것은 7 x 7 크기의 필터를 제공하는 이중 필터링 접근법으로 해결된다.이 아이디어는 우선 보간법으로 필터링하여 픽셀 사이의 보간 값을 얻고, 여기서 파생 필터를 사용하여 절차를 반복한 후 중심 값이 픽셀 중심에서 떨어지도록 하는 것이다.이것은 수녀회 연합법에 의해 쉽게 증명될 수 있다.

${\displaystyle p'_{u}=\mathbf {d}\ast(\mathbf {k}\ast G)=(\mathbf {d}\ast \mathbf {k})\ast G}$

따라서 보간 커널 k ${\$\$mathbf$$${$k$$}$과(와) 파생 커널 d$${\$dplaystyle \mathbf {d}$을$($를) 사용하여$$ 파생 모델 $k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathbf{}}_{}}$ ${\$}을(를) 계산하기 위한 콘볼루션 커널이 된다$$.

${\displaystyle \mathbf{k_{d} =\mathbf {d}\ast \mathbf {k}}$

또한 경련은 상쇄성이므로 두 개의 커널의 순서가 문제가 되지 않으며, 제1차 순서 파생 커널뿐만 아니라 제2차 순서 파생상품도 삽입할 수 있다는 것을 명심하라.이러한 커널은 베지어 표면과 비교하여 어떤 스플라인 표면도 정사각형 픽셀 영역 위에 장착할 수 있다는 사실에서 유래되었다.헤이스트는 그러한 표면이 분리 가능한 경련으로서 수행될 수 있다는 것을 증명한다.

${\displaystyle p(u,v)=\mathbf {u}^{T}{T}\mathbf {v} =M^{T}\mathbf {u}\otimes \mathbf {v}^{T}M\ast G}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 스플라인 기반 행렬이고, $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${$ 및$$ v ${\$은$($는) 변수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및 $v$ ${\displaystyle$ v$}$을(를) $포함$하는 벡터입니다.

${\displaystyle \mathbf {u} =[u^{3},u^{2},u,1]^{T}$

${\displaystyle \mathbf {v} =[v^{3},v^{2},v,1]^{T}}}$

이제 콘볼루션 커널은

${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {u}^{T}M=(M^{T}\mathbf {v})^{{}}^T}$

${\daystyle \mathbf {d} ={\frac {\partial \mathbf {u}^{T}{\partial u}}M=\왼쪽(M^{T}{\partial \mathbf {v}{\partial v}}\partial v}}오른쪽)^{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}$

${\daystyle \mathbf{d^{2}} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u}^{T}{{T}}{\partial u^{2}}:M^{{T}{\frac {\partial ^{2}}{v}}}{partial v^{2}\rig}\오른쪽)^{partial v^{{{{{{partbf}^^^}}}}}}^^^^^T}$

따라서 중앙 픽셀의 첫 번째 순서 파생상품은 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle D_{u}={\frac {\partial \mathbf {u} ^{T}}{\partial u}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

그리고

${\displaystyle D_{v}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial v}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

마찬가지로, 2차 순서의 파생 커널은

${\displaystyle D_{u}^{2}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} ^{T}}{\partial u^{2}}}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}\mathbf {v} =\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {k} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

그리고

${\displaystyle D_{v}^{2}=\mathbf {u} ^{T}M\ast \mathbf {u} ^{T}MGM^{T}\mathbf {v} \ast M^{T}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial v^{2}}}=\mathbf {k} \ast \mathbf {k} \otimes (\mathbf {d^{2}} \ast \mathbf {k} )^{T}\ast G}$

입방 스플라인 필터는 중심 ${\displaystyle u}$=${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle u=v=0.5}$에서 평가되므로

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} =[(0.5)^{3}, (0.5)^{2},0.5,1]^{{}T}=[0.125,0.25,0.5,1]^{T}$

마찬가지로 첫 번째 순서의 파생상품은

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u}(0.5){\frac {v}}{\frac {\frac{\frac {v}}}{\propert v}=[3\cdot (0.5)^{2,1,0]^{1\p^{\p^{\precdata.T}=[0.75,1,1,0]^{T}$

그리고 비슷한 방식으로 2차 파생상품은

${\dfrac {d^{2}\mathbf {u}(0.5)}{u^{2}}={\frac {d^{2}}\mathbf {v}(0.5)}{frak^{2}}=[6\cdot (0.5), 2,0,0]^]^{T}=[3,2,0,0]^{T}$

어떤 큐빅 필터도 베지에, 헤르미테 또는 B-스플라인과 같은 위의 방정식을 사용하여 이미지 파생물을 계산하는 데 적용하고 사용할 수 있다.

아래 Matlab의 예는 Catmull-Rom 스플라인을 사용하여 파생 모델을 계산한다.

  M = [1,-3,3,-1; -1,4,-5,2; 0,1,0,-1; 0,0,2,0] * 0.5; u = [0.125;0.25;0.5;1]; 위로 = [0.75;1;1;0]; d = 위로'*M; k = u'*M; 아이유 = conv2(수녀원으로 모이다(d,k), 수녀원으로 모이다(k,k), 나는,'same');  % 수직 파생 모델(wrt Y) IV = conv2(수녀원으로 모이다(k,k), 수녀원으로 모이다(d,k), 나는,'same');  수평 파생 모델 비율(wrt X) 

기타 접근법

수 많은 필터를 파생상품의^[10] 계산에 사용할 수 있다. 더욱이 사비츠키와 골레이는^[11] 파생상품의 계산에 사용할 수 있는 최소 제곱 다항식 평활 방식을 제안하고 있으며, 루오^[12] 등은 이 접근법에 대해 더 자세히 논의한다.샤르는^{[13][14][15][16]} 푸리에 도메인의 오류를 최소화하여 파생 필터를 만드는 방법을 보여주며, 야네 등은 파생 필터를 포함한 필터 설계의 원리에 대해 좀 더 자세히 논의한다.

참조

외부 링크

• 파생상품5.m Farid 및 Simoncelli: 5-Tap 1차 및 2차 이산파생상품.
• 파생 모델7.m Farid 및 Simoncelli: 7-Tap 1차 및 2차 이산 파생 모델
• kernel.m Haste: 큐빅 스플라인, Catmull-Rom 스플라인, Bezier 스플라인, B-Splines 및 Trigonometric 스플라인에 대한 1차 및 2차 이산 파생 모델.