이구사 제타 함수

수학에서 이구사 제타 함수는 방정식, 모둘로 p, p², p³ 등의 해법 수를 계산하는 생성함수의 일종이다.

정의

소수 p의 경우 K를 p-adic 필드(예: $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ [ $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ : $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ $[K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty$ ${$ {\ $displaystyle [K:\mathb {Q} _{p$ R 평가 링 및 P는 최대 이상이다.For $z\in K$ we denote by $\operatorname {ord} (z)$ the valuation of z, $\mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}$ , and $ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}$ for a uniformizing p아라미터 π

나아가 $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ : $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ $R^{\times }$ $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ ${\$ { $C}}을($ 를) 슈워츠-브루하트 함수(즉, 콤팩트하게 지지되는 국소 상수 함수)로 $\phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C}$ 하고 $\chi$ $R^{\times }$ {\ $displaystystyle$ $\chi$ R $^{\times}}}}}}}}}$ 의 문자를 두도록 $\chi$ 한다 $R^{\times }$

$이$ 상황에서 한 사람은 K[x_{ $1},\ldots$ , $x_{n}$ 에서 이구사 제타 함수인 비정규적 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 다항식 $f[$ , $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ … , $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ [ $x1$ , $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ], [ $n}],$ [x_ ${n$ }], [ $x_{n$ }]에 $f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 연결된다.

{\displaystyle Z_{\pi }(s,\chi )=\int _{K^{n}\phi(x_{1},\ldots,x_{n})\chi(x(f(x_{1},\ldots,x_{n})) f(x_{s},dx}).

여기서 $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ , $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ ( $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ s ) $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ > 0 $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ , ${\displaystyle s\in \mathb {C} ,\operatorname {Re} (s)0,},$ dx는 $s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,$ $R^{n}$ ${\$ R $^{n}$ 이 1을 가질 $R^{n}$ 정도로 정규화된 Har 측정값이다.

이구사의 정리

이구사 준이치(1974)는 $Z_{\phi }(s,\chi )$ $Z_{\phi }(s,\chi )$ ( $Z_{\phi }(s,\chi )$ , $){\displaystyle Z_{\pi }(s,\chi )}}$ 이(가) t $t=q^{-s}$ = $t=q^{-s}$ - s ${\$ 에서 합리적인 함수임을 $Z_{\phi }(s,\chi )$ 보여주었다 $t=q^{-s}$ 그 증거는 특이점들의 분해능에 관한 히로나카 헤이스케의 정리를 이용한다.나중에, 얀 드네프는 p-adic 세포분해를 이용하여 전혀 다른 증거를 제시하였다.그러나 명시적 공식에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.(페르마트 품종의 이구사 제타 기능에 대한 결과가 있다.)

$P$ $P$ 의 조합 능력

$R^{n}$ 우리는 ${{\$ $displaystyle$ $R^{n}$ 의 $R^{n}$ 특성 함수로 $\phi$ $\phi$ ${\$ $displaystyle$ $\pi }$ 을(를) 사용하고 사소한 문자로 $\chi$ {\ $displaystyle \chi}$ 을(를) 사용한다.Let $N_{i}$ $N_{i}$ ${\$ 은(는) 합성의 용액 수를 나타낸다 $N_{i}$ .

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

(

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

1

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

,

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

… ,

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

)

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}

i

{\

P

^{i

그러면 이구사 제타 함수

Z(t)=\int _{R^{n}f(x_{1},\ldots,x_{n}) ^{s}\,dx

푸앵카레 시리즈와 밀접한 관련이 있다.

P(t)=\sum _{i=0}^{\infit q^{-in}N_{i}t^{i}}}}}}}

에 의해

P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.

참조

Igusa, Jun-Ichi (1974), "Complex powers and asymptotic expansions. I. Functions of certain types", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1974 (268–269): 110–130, doi:10.1515/crll.1974.268-269.110, Zbl 0287.43007
이 기사에 대한 정보는 J. Denef, 이구사의 로컬 제타 기능에 관한 보고서, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), ex. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386에서 가져 왔다.

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정의

이구사의 정리

$P$ $P$ 의 조합 능력

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